初中數學/幾何/畢氏定理及其逆定理

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧初中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

本節介紹的是畢達哥拉斯定理，也叫勾股定理或百牛定理。它在3000多年前已經被人們所證明，是數學中最知名、證明方法最多的定理，也是最重要的定理之一。勾股定理最廣泛的應用是距離的間接測量和對數據抽象距離的定義。高中數學中的餘弦定理、微積分學和泛函分析中的帕塞瓦爾恆等式都是勾股定理的重要推廣。其中帕塞瓦爾恆等式在物理學和信號分析研究中也是能量守恆定理的數學體現。由它產生的勾股數也與費馬大定理有聯繫。

傳說古希臘數學家和哲學家畢達哥拉斯為了慶祝它的成功證明，宰殺了上百頭牛舉辦了大型宴席。這個定理故名「百牛定理」。

基礎知識

畢氏定理及其逆定理

更多資料：初中數學/畢氏定理

我們知道，三角形三個角當中有一個角是直角，這個三角形就叫做直角三角形。直角的對邊叫做「斜邊」，直角的兩個鄰邊叫做「股」。例如在右方直角三角形，C為直角，另兩角為A、B，a為短股、b為長股、c為斜邊。

勾股定理（畢氏定理，Pythagorean theorem）：在直角三角形中，兩股平方和等於斜邊平方。
也即若直角三角形的邊長分別為a、b、c $(a<b<c)$ ，則 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。

勾股定理的逆定理：若三角形的邊長分別為a、b、c $(a<b<c)$ ，且有 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 成立，那麼此三角形一定是直角三角形，其中c的對邊為直角。

注意：勾股定理中的關係式是 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ，而不是 $a+b=c$ 。

勾股定理的一種圖示證明如下圖所示。

常用結論與常見模型

三維情形

求長方體的對角線長度時，我們需要用到兩次用到勾股定理，從而得到更一般的三維空間中的勾股定理。

若長方體沿不同方向的邊長分別為a、b、c，不共平面的一對頂點之間的連線長度為d，則有 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$ 成立。

我們會在後續的三維空間中的投影與距離章節中繼續學習它。

勾股數

可以使 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 成立的正數a、b、c叫做一個畢氏三元組（Pythagorean triple），簡稱一組勾股數。

相關例題1：求證勾股數有無窮多組。

相關例題2：求證在一組勾股數a、b、c中，要麼沒有奇數，要麼剛好有2個奇數。

勾股樹

有一種基於勾股定理構造的漂亮分形，叫畢達哥拉斯樹或勾股樹。它由一個正方形作為起點，不斷通過構造相接的直角三角形而得到。我們會在後續的微積分課程中學習到這種自相似的分形具有有限的面積和無限的周長。勾股樹也是許多計算機編程繪圖教程中的經典示例，常用一種叫做深度優先搜索的遞歸式算法繪製。

基於尺規作圖的根號估值

${\sqrt {1}}=1$
${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$
1. 作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+1²=c²，所以c²=2，c= ${\sqrt {2}}$ (參見第二段)
2. 用尺量， ${\sqrt {2}}$ 約等於 1.4 公分。
3. 由於 ${\sqrt {2}}^{2}=2$ ，所以一位一位求下去，可以得 ${\sqrt {2}}$ 的近似值為 1.414
${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$
1. 作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=2²，所以b²=3，b= ${\sqrt {3}}$ (參見第二段)
2. 用尺量， ${\sqrt {3}}$ 約等於 1.7 公分。
3. 由於 ${\sqrt {3}}^{2}=3$ ，所以一位一位求下去，可以得 ${\sqrt {3}}$ 的近似值為 1.732
${\sqrt {4}}=2$
${\sqrt {5}}$ ${\sqrt {5}}$
1. 作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+2²=c²，所以c²=5，c= ${\sqrt {5}}$ (參見第二段)
2. 用尺量， ${\sqrt {5}}$ 約等於 2.2 公分。
3. 由於 ${\sqrt {5}}^{2}=5$ ，所以一位一位求下去，可以得 ${\sqrt {5}}$ 的近似值為 2.236
4. 也可以作短股 ${\sqrt {2}}$ 公分、長股 ${\sqrt {3}}$ 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理： ${\sqrt {2}}^{2}+{\sqrt {3}}^{2}=c^{2}$ ，所以c²=5，c= ${\sqrt {5}}$ (參見第二段)
5. 也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+b²=3²，所以b²=5，b= ${\sqrt {5}}$ (參見第二段)
${\sqrt {6}}$ ${\sqrt {6}}$
1. ${\sqrt {6}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}$ ${\sqrt {6}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}$ ，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
  - 左邊平方 ${\sqrt {6}}^{2}=6=2*3={\sqrt {2}}^{2}*{\sqrt {3}}^{2}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}$
  - 右邊平方 $\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)^{2}=\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)*\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}$
2. 以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 ${\sqrt {5}}$ ；再作短股 1 公分長股 ${\sqrt {5}}$ 公分的直角三角形，斜邊為 ${\sqrt {6}}$ 。
3. 第一種求近似值的方法，量 ${\sqrt {6}}$ 約為 2.4 ，再利用 ${\sqrt {6}}^{2}=6$ ，求得近似值 2.449 。
4. 第二種求近似值的方法，直接拿 1.414( ${\sqrt {2}}$ 的近似值) 乘以 1.732( ${\sqrt {3}}$ 的近似值) ，即得 2.449 ( ${\sqrt {6}}$ 的近似值) 。
5. 對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
${\sqrt {7}}$ ${\sqrt {7}}$
1. 以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 ${\sqrt {3}}$ ；再作短股 ${\sqrt {3}}$ 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 ${\sqrt {7}}$ 。
2. 求近似值的方法，量 ${\sqrt {7}}$ 約為 2.6 ，再利用 ${\sqrt {7}}^{2}=7$ ，求得近似值 2.646 。
${\sqrt {8}}$ ${\sqrt {8}}$
1. 作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+2²=c²，所以c²=8，c= ${\sqrt {8}}$ (參見第二段)
2. 作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=3²，所以b²=8，b= ${\sqrt {8}}$ (參見第二段)
3. 第一種求近似值的方法，量 ${\sqrt {8}}$ 約為 2.8 ，再利用 ${\sqrt {8}}^{2}=8$ ，求得近似值 2.828 。
4. 第二種求近似值的方法， ${\sqrt {8}}={\sqrt {2*2*2}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}=2*{\sqrt {2}}$ 直接拿 2 乘以 1.414( ${\sqrt {2}}$ 的近似值)，即得 2.828 ( ${\sqrt {8}}$ 的近似值) 。
${\sqrt {9}}=3$
${\sqrt {10}}$ ${\sqrt {10}}$
1. 作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+3²=c²，所以c²=10，c= ${\sqrt {10}}$ (參見第二段)
2. 用尺量， ${\sqrt {10}}$ 約等於 3.2 公分。
3. 由於 ${\sqrt {10}}^{2}=10$ ，所以一位一位求下去，可以得 ${\sqrt {10}}$ 的近似值為 3.162 。