初中數學/算則觀念/分數

分數是指「有分子有分母的數」，本質是是乘法與除法的綜合，定義為：「除以分母，乘以分子」。就是均分為分母等份，取其分字等份。

漫談分數

分數的分字，含有分開、部份的意思。而拉丁文中，分數源自frangere這字，意思是打破、斷裂。

公元前1900年，巴比倫人就利用分母是60的分數來記錄數量。古埃及人也利用分數來記數，但當時記數的分數只是個符號。

其實早於商周年代，中國人已經懂得應用分數的概念，秦始皇統一中國後，擬出一年有三百六十五又四分之一天。《九章算術》是中國古代的數學理論名著，內容已提及到分數，並採用分子、分母、約分等數學名詞，我們至今仍有沿用。

在歐洲，把分數看作是兩個整數相除的商，以及分子可以大於分母數目的概念，要到16世紀才發展出來，與中國相較，遲了接近一千年。

分數的認識

分數的意義

計算分數時，商不一定是整數，在這種情況下，就要把一個單位平均分成若干分，以其中的一份或數份來表示所得的結果，這樣便產生了分數。

換句話說，分數就是把單位1平均分成若干等分後，其中1份或數份的數目。一個蛋糕平均分成3份，其中一份的數目便是${\frac {1}{3}}$。一件薄餅平均分成5份，取去3份，就是取去${\frac {3}{5}}$件薄餅。

分數加減法

分數相加，要先通分母，分線下之數字。較易之法，為把兩個分母相乘，然後各分子亦要乘回其分母所乘之數。

例如︰

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}$

分母相乘以後，再通其分子，得以下數式

$={\frac {1{\color {red}\times 4}}{3{\color {red}\times 4}}}+{\frac {1{\color {red}\times 3}}{4{\color {red}\times 3}}}$

$={\frac {4}{12}}+{\frac {3}{12}}$

分子相加後得取結果

$={\frac {4+3}{12}}$

$={\frac {7}{12}}$

減法亦類似於加法，亦要先通分母。再以前者分子減去後者，得一分數，可嘗試分子分母相約以取最簡單分數。

例如︰

${\frac {3}{4}}-{\frac {5}{48}}$

$={\frac {3{\color {red}\times 12}}{4{\color {red}\times 12}}}-{\frac {5}{48}}$

$={\frac {36}{48}}-{\frac {5}{48}}$

$={\frac {36-5}{48}}$

$={\frac {31}{48}}$

分子乘除

分數相乘，分子分母各自相乘，再試約簡，即為答案。

${\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{4}}$

$={\frac {1\times 1}{3\times 4}}$

$={\frac {1}{12}}$

而除法，則需把後者上下顛倒，約簡後相乘即可。

${\frac {1}{6}}\div {\frac {1}{8}}$

$={\frac {1}{6}}\times {\frac {8}{1}}$

$={\frac {1\times 8}{6\times 1}}$

$={\frac {8/2}{6/2}}$

$={\frac {4}{3}}$

可寫作帶分數。

$=1{\frac {1}{3}}$

分數四則運算

• $(25-{\frac {11}{36}}\times 25)+(11-{\frac {11}{36}}\times 11)$

$=(25+11)-({\frac {11*25}{36}}+{\frac {11*11}{36}})$ , ($25+11=36$)

$=36-({\frac {11}{36}}(25+11))$

$=36-11=25$

• $({\frac {1}{2-{\frac {11}{18}}}}-{\frac {11}{50}})({\frac {36}{11}}-1)$

$=({\frac {1}{\frac {36-11}{18}}}-{\frac {11}{50}})\times {\frac {36-11}{11}}$

$=({\frac {18}{36-11}}-{\frac {11}{50}})\times {\frac {36-11}{11}}$

$={\frac {36-11}{50}}\times {\frac {36-11}{11}}$,($36-11=25$)

$={\frac {25}{50}}\times {\frac {25}{11}}={\frac {25}{22}}=1{\frac {3}{22}}$

圖解

乘除的意思

• 乘是「多倍」，5×3或3×5    
• 除是「均分」，15÷3為15均分為三份，每份為5    

  	÷3＝		÷3＝

分數的意思

「除以分母，乘以分子」。就是均分為分母等份，取其分字等份。

擴分與約分

分子分母同乘以兩倍，分數大小不變。分子分母同乘以 3,4,5,6,7,8,9… 倍，分數大小還是不變。
同理，分子分母同除以兩倍，分數大小不變。分子分母同除以 3,4,5,6,7,8,9… 倍，分數大小還是不變。

假分數

帶分數

分數相加(同分母)

分數相減(同分母)

分數相加(不同分母須通分)

整數乘以分數

整數乘以分子
$3\times {\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}$

分數除以整數

整數乘以分母
${\frac {3}{4}}\div 3={\frac {1}{4}}$

分數乘以分數

分子乘以分子，分母乘以分母
${\frac {1}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {4}{12}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {4}{12}}$分成四份取其三份$={\frac {3}{12}}={\frac {1}{4}}$

倒數1

$a\times {\frac {1}{a}}=1$
$2\times {\frac {1}{2}}=1$=
$3\times {\frac {1}{3}}=1$=
$4\times {\frac {1}{4}}=1$=

倒數2

${\frac {b}{a}}\times {\frac {a}{b}}=1$

除以分數等於乘以其倒數

${\frac {b}{a}}\div {\frac {d}{c}}=({\frac {b}{a}}\times 1\div {\frac {d}{c}})={\frac {b}{a}}\times ({\frac {d}{c}}\times {\frac {c}{d}})\div {\frac {d}{c}}={\frac {b}{a}}\times {\frac {c}{d}}\times ({\frac {d}{c}}\div {\frac {d}{c}})={\frac {b}{a}}\times {\frac {c}{d}}\times 1={\frac {b}{a}}\times {\frac {c}{d}}$