圓錐曲線

圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線

　　1. 橢圓：到兩個定點的距離之和等於定長（定長大於兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 　　2. 雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小於兩個定點的距離）的動點軌跡叫做雙曲線。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 　 3. 拋物線：到一個定點（定點在定直線外）和一條定直線的距離相等的動點軌跡叫做拋物線。 4. 圓錐曲線的統一定義：到定點（定點在定直線外）的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當0<e<1時為橢圓：當e=1時為拋物線；當e>1時為雙曲線。

·圓錐曲線由來：圓，橢圓，雙曲線，拋物線同屬於圓錐曲線。早在兩千多年前，古希臘數學家對它們已經很熟悉了。古希臘數學家阿波羅尼採用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直與錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫「虧曲線」，把雙曲線叫做「超曲線」，把拋物線叫做「齊曲線」。

·圓錐曲線的參數方程和直角坐標方程： 1）直線 參數方程：x=X+tcosθ y=Y+tsinθ (t為參數） 直角坐標：y=ax+b 2）圓 參數方程：x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ為參數 ) 直角坐標：x^2+y^2=r^2 (r 為半徑） 3）橢圓 參數方程：x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ為參數 ) 直角坐標（中心為原點）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 4）雙曲線 參數方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ為參數 ) 直角坐標（中心為原點）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (開口方向為x軸） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (開口方向為y軸） 5）拋物線 參數方程：x=2pt^2 y=2pt (t為參數) 直角坐標：y=ax^2+bx+c (開口方向為y軸, a<>0 ） x=ay^2+by+c （開口方向為x軸, a<>0 )

圓錐曲線（二次非圓曲線）的統一極坐標方程為 ρ=ep/(1-e×cosθ) 其中e表示離心率，p為焦點到準線的距離。

焦點到最近的準線的距離等於ex±a

。圓錐曲線的焦半徑（焦點在x軸上，F1 F2為左右焦點，P（x，y），長半軸長為a） 橢圓：橢圓上任一點和焦點的連線段的長稱為焦半徑。 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex

雙曲線： P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey 圓錐曲線的光學性質： 1）橢圓：點光源在一個焦點上，光線通過另一個焦點。 2）雙曲線：點光源在一個焦點上，反射光線與另一焦點到反射點的連線在同一條直線上。 3）拋物線：點光源在焦點上，反射光線相互平行且垂直於準線。具體應用：探照燈。