圓錐曲線

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圓錐曲線包括橢圓,雙曲線,拋物線

  1. 橢圓:到兩個定點的距離之和等於定長(定長大於兩個定點間的距離)的動點的軌跡叫做橢圓。即:{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。   2. 雙曲線:到兩個定點的距離的差的絕對值為定值(定值小於兩個定點的距離)的動點軌跡叫做雙曲線。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。   3. 拋物線:到一個定點(定點在定直線外)和一條定直線的距離相等的動點軌跡叫做拋物線。 4. 圓錐曲線的統一定義:到定點(定點在定直線外)的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當0<e<1時為橢圓:當e=1時為拋物線;當e>1時為雙曲線。

·圓錐曲線由來:圓,橢圓,雙曲線,拋物線同屬於圓錐曲線。早在兩千多年前,古希臘數學家對它們已經很熟悉了。古希臘數學家阿波羅尼採用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直與錐軸的平面去截圓錐,得到的是圓;把平面漸漸傾斜,得到橢圓;當平面和圓錐的一條母線平行時,得到拋物線;當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫「虧曲線」,把雙曲線叫做「超曲線」,把拋物線叫做「齊曲線」。

·圓錐曲線的參數方程和直角坐標方程: 1)直線 參數方程:x=X+tcosθ y=Y+tsinθ (t為參數) 直角坐標:y=ax+b 2)圓 參數方程:x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ為參數 ) 直角坐標:x^2+y^2=r^2 (r 為半徑) 3)橢圓 參數方程:x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ為參數 ) 直角坐標(中心為原點):x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 4)雙曲線 參數方程:x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ為參數 ) 直角坐標(中心為原點):x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (開口方向為x軸) y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (開口方向為y軸) 5)拋物線 參數方程:x=2pt^2 y=2pt (t為參數) 直角坐標:y=ax^2+bx+c (開口方向為y軸, a<>0 ) x=ay^2+by+c (開口方向為x軸, a<>0 )


圓錐曲線(二次非圓曲線)的統一極坐標方程為 ρ=ep/(1-e×cosθ) 其中e表示離心率,p為焦點到準線的距離。

焦點到最近的準線的距離等於ex±a

。圓錐曲線的焦半徑(焦點在x軸上,F1 F2為左右焦點,P(x,y),長半軸長為a) 橢圓:橢圓上任一點和焦點的連線段的長稱為焦半徑。 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex

雙曲線: P在左支,|PF1|=-a-ex |PF2|=a-ex P在右支,|PF1|=a+ex |PF2|=-a+ex P在下支,|PF1|= -a-ey |PF2|=a-ey P在上支,|PF1|= a+ey |PF2|=-a+ey 圓錐曲線的光學性質: 1)橢圓:點光源在一個焦點上,光線通過另一個焦點。 2)雙曲線:點光源在一個焦點上,反射光線與另一焦點到反射點的連線在同一條直線上。 3)拋物線:點光源在焦點上,反射光線相互平行且垂直於準線。具體應用:探照燈。