純粹數學/引言

數量的研究起於數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質於數論中有詳細的研究，此一理論包括了如費馬最後定理之著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生質數猜想及哥德巴赫猜想。

當數系更進一步發展時，整數被承認為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成複數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數，它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念：艾禮富數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。

$1,2,3\,\!$	$-2,-1,0,1,2\,\!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
自然數	整數	有理數	實數	複數

結構

許多如數及函數的集合等數學物件都有着內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為代數的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。 創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：純粹數學，是研究抽象結構的理論。 結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。 布爾巴基學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，環通度，維數……）。

數論	群論	圖論	序理論

變化

了解及描述變化在自然科學裡是一普遍的議題，而微積分更為研究變化的有利工具。函數誕生於此，做為描述一變化的量的核心概念。對於實數及實變函數的嚴格研究為實分析，而複分析則為複數的等價領域。黎曼猜想－數學最基本的未決問題之一－即以複分析來描述。泛函分析注重在函數的(一般為無限維)空間上。泛函分析的眾多應用之一為量子力學。許多的問題很自然地會導出數量與其變化率之間的關係，而這則被微分方程式所研究著。在自然界中的許多現象可以被動力系統所描述；混沌理論明確化許多表現出不可預測的系統之行為，而且為決定性系統的行為。

微積分	向量分析	微分方程	動力系統	混沌理論	複分析