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高中數學

維基教科書,自由的教學讀本


歡迎來到高中數學!

開場白:誰適合閱讀這本書[編輯]

本書是為中國大陸的普通高級中學學生設計的數學教程,以便於自學、知識擴展或課後複習。其他地區的學生或者其他人員也可通過此書以擴充知識面或了解更多知識。

書中會收錄少量在一般普通高中考試大綱之外的實用知識,但會作出必要的說明,只供有需要的部分讀者學習。如果您是急需速成學習或成績鐵定吊車尾的讀者,大可以先放心跳過它們。

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如果您是一位急匆匆的讀者,以上內容就是您所需要了解的全部。

高中數學的學習方法[編輯]

寫給進入高中的差生[編輯]

成績令人揪心的你終於勉強進入了高中。壞消息是這是一段比初中更加難熬的學習階段,尤其是數學。您將會大概率遇到更多不知道怎麼做的題,而且老師會不厭其煩地布置學渣如你根本寫不完的習題作業。憂國憂民的您可能在較長一段時間內不再有機會好好為振興國家的電競事業而貢獻餘熱,或是從頭到尾看完一部愛得死去活來的肥皂劇了。最令人遺憾的是,如果您進入的是比較糟糕的高中,考試時可能連可以抄答案的靠譜同學都沒有,其他同學日常聊的話題也多半是一些感情糾紛或江湖往事。學生成群約架和各種不健康的書籍、影視也可能充斥校園。如果您希望數學成績能得到提高,或者至少使數學考試成績不再那麼難看,現在至少應該樹立犧牲大部分娛樂時間、先把基礎習題一個一個搞懂的決心。如果其中有明顯難度的知識點一下子拿不下來,那就至少保證基礎習題都要會做,而且保證會做的習題儘量少出錯。出錯的題要總結具體錯誤的類型,每過一段時間之後重新做一遍之前出錯的問題。

如果您的初中數學基礎特別爛,建議先複習一次函數、二次函數、三角函數的知識,至少把需要背熟的性質都背熟。好消息是以前學習的平面幾何不再是高中的重點考察知識,這是一個可以重新開局的好機會,值得好好把握。

總結起來就是:

  • 要有定力,少受環境的影響
  • 先集中突破基礎問題,一步一個腳印
  • 保證會做的習題少出錯
  • 反覆練習之前的有價值的錯題

「張華考上了北京大學,李萍進了中等技術學校,我在百貨公司當售貨員:我們都有光明的前途。」

——《新華字典》1998年修訂本第673頁

寫給基礎好的讀者[編輯]

高中所學的數學絕大部分內容是300年前或更早的數學,集合論、線性規劃、導數等少數知識點是為了與大學數學銜接而加入的近代數學基礎知識。它的本質還是停留在對離散的、直觀的、特殊規律的學習,但是已經開始朝將知識點一般化的方向延伸。例如高中學習的餘弦定理是對勾股定理的推廣,向量是對數的高維抽象,解析幾何拓展了對平面幾何問題的研究思路。

高中數學以函數和方程為核心,這是知識點編排的主線。如果撇去知識點細節,高中數學主要考察下列幾個思想,這是高中數學解題思維的主線:

  • 待定係數法
  • 數形結合
  • 從特殊到一般,將規律從特定多個推廣到任意多個
  • 換元與轉化的思想

對於大多數資質一般、手頭的優質教育資源很有限的人而言,數學是一門困難的學科,學習數學需要基於大量實踐經驗的方法總結。而且從高中數學開始,數學的學習難度會越來越大,答案或思路明顯的問題會越來越少,時不時因遇到難題而發愁、學習感到吃力是很正常的。數學學習是無法迴避困難的,如果習題都是一眼就能看出答案的程度,那麼刷這樣的水題再多也學不到數學的精髓。讀者在小學和中學低年級經常會遇到的那種大量的低思維層次、步驟高度重複化的無腦硬算計算練習根本不是數學的真面目。數學的主要難點就是在於問題或方法有着看似無窮無盡的靈活變化,方法與方法之間也可以相互組合產生新的高級方法,這種強大的變化性正是數學這個學科的本質特點之一,也是其生命力來源,應該主動面對、儘早適應。即使是專業的數學工作者也經常遇到令人困惑不解的數學難題,或是被同行更優秀的工作所震驚。遇到困難時,一定要及時調整心態,不必死磕過難的題,也不必整日以淚洗面。

不是所有的難題都值得做,做完題之後要總結所做的題出得好不好,尤其是自己通過做完這樣一道題目到底能不能學到新東西。對自己有啟發性、自己特別容易出錯的題目或考點要集中記下來。體會、收集和總結常見技巧在理工科課程學習中會變得越來越重要,要逐漸養成一個長期的習慣。做習題不是為了與他人攀比,而是檢測自己對於新、舊知識的理解是否充分到位。在數學中學到的思考方法,會內化為一種習慣抽象、聯想、轉化的思維本能,這是一種無形的智慧財富,能帶來思維境界的提升。不應該純粹為了競爭而學習數學(這樣未免格局偏小),這裡給出2位著名數學家的話作為寄語:

數學並不是一項競賽活動。

——亞歷山大·格羅滕迪克[1]

「數學的目標不是獲得最高的排名、最高的分數或者最多的獎項,相反,最重要的目標是提升對數學的理解(不僅是為你自己,更為了你的同行、學生),以及促進數學的發展和應用。出於這個目的,數學歡迎任何想加入這個行列的人。」

——陶哲軒[2][3]

祝大家能夠通過高中及後續數學課程的學習,鍛煉出好的數理思維能力,把這個美麗星球的智慧文明精華一代代傳遞、發展下去(有希望的話帶到更遠的星系)!

本書定位[編輯]

由於維基教科書是開放的讀本,任何發現它存在明顯瑕疵的有心人都可以為其添磚加瓦。但為了保持整本書風格和定位的統一,我們在此留給後來的編輯者們一些話,可做寫作和取材時的參考。

我們認為,由於各國、甚至各地教材的內容都不完全統一,且每種教材都可能會頻繁改版,加之教材可能會存在少量知識點的遺漏,所以維基教科書不適合按與特定版本教材章節嚴格對應的思路編寫。我們希望通過這本書,提供一個普適的、能長期使用的、內容比一般教材更豐富的閱讀選擇。本書內容取材的大致原則如下:

  • 不必參考特定地區、特定版本教材或教輔的章節順序編寫,由淺入深、邏輯自洽即可。
  • 先突出容易最掌握的核心知識,並將基礎知識點與拓展知識點用不同的子章節分開講述。這樣有不同層次閱讀需要的人群可以各取所需。
  • 題量可以多一點,但是一定要合理分類。每一節都按主要知識點或技巧的不同類型,由淺入深分類講解各種例題、衍生題,逐漸加強對知識點的理解深度,方便讀者對知識點各個擊破。這樣對任何知識點感覺存在不足的讀者,都可以快速查漏補缺,或是有針對性地刷題提高。數學主張領悟通性通法,我們不主張通過題海戰術學習數學,但是每個人針對自己的薄弱知識點刷題是值得的,所以習題一定要按知識點合理分類。
  • 對於經典例題提倡一題多解,但是除了有關集合、簡易邏輯、函數、綜合複習的章節外,應該儘量保持其餘各個大章節的知識點獨立性。一題多解的好處自不必說,儘量保持獨立性是為了便於讀者學習和查閱。讀者如果是高中生,學校課程的學習順序可能會發生變動,彼此獨立的章節可以避免已學知識與未學知識的相互干擾。處於這樣的理由,我們更建議將知識點跨領域的問題和一題多解的問題放在綜合複習部分。也可以將可以一題多解的問題分散在不同章節,但只在其中每個章節介紹一種解法,並提及存在其它解法,最後在綜合複習章節對它們進行集中對比和點評。
  • 我們不希望這變成一本應試指南。無論是學校考試和學科競賽,都不應該成為學習數學的唯一動力。但我們也會考慮到部分讀者的實際需要,用極少量篇幅適當介紹考試須知的內容。
  • 例題選題應以解答題和證明題為主,沒必要地大量布置選擇題、填空題。對於比較經典的選擇題、填空題,能改寫為問答題的也優先改寫為問答題。理由是解答題和證明題可以鍛煉讀者的思維,選擇題和判斷題則有一些取巧的方法。我們不鼓勵利用「排除法」、「代入選項驗證」等取巧的方法學習數學,雖然它也不是毫無意義的。
  • 例題一定要有啟發性,容易使大多數讀者舉一反三。過難的選題和過於特殊取巧的解法並不適合大多數讀者。學習數學教育的目的是引導學習者發現解決大多數常見問題的普遍性規律,不是一味拘泥於各種特殊情況。真正的數學如同生活本身,它需要一定的常見技巧,但並非總是處處充滿巧合與奇蹟的。
  • 如果可以的話,簡要說明知識點的由來以及知識點本身在高中以後的後續課程中到底有什麼應用,強調數學學習的連貫性。對於許多讀者來說,「為什麼高中需要學習某某知識點」可能容易引起困惑。無論讀者是出於好奇心,還是處於功利的目的,都有理由獲得對於這類問題的解答。我們鼓勵學習者思考和提出「學習這個除了應付考試還有什麼用」這樣的問題。此外,「要解決這種問題,以後是否還會學到更普適的方法」也是一個很好的問題,可以給讀者一兩句話介紹對於這樣的問題我們已經了解到了什麼程度、有什麼進階教程可以參考。
  • 如遇到容易理解偏差的詞彙(例如「行」與「列」的含義在兩岸三地可能是相反的),適當提及中西文表達差異與不同教程之間的術語差異。

更多的使用技巧請點擊這裡

參與編輯[編輯]

維基教科書的修改方法[編輯]

對插入圖片、公式等基本操作和維基代碼語法了解不多的編輯者,可以通過2種方式儘快入門:

  • 查看本網站中其它網頁的維基代碼,分析和借鑑其中的做法實現自己想要的某種功能。
  • 由於維基教科書與維基百科的用法非常相似,建議對插入圖片、公式等基本操作了解不多的讀者根據需要選擇性查閱本維基上的維基百科編寫教程或者維基百科主站編輯指南中的相關章節。當然,網上現有的維基語法教程都寫得不算特別好(操作實戰性不強),從頭到尾地閱讀這些教程或指南多半會無聊到要睡着,所以只能遇到有需要時臨時去查閱、挑着看。
  • 根據需要專門查閱維基百科幫助頁中列出的數學公式代碼列表。維基教科書中的LaTeX語法教程則不是一個好的選擇,它(的目前版本)的重點還太不突出。
  • 平時可以保存在線或離線文檔的形式,有意識地收集自己經常需要用到的代碼模板,不斷地整理、總結常用功能。
  • 如有時間,我們也會不斷補充維基教科書語法指南,方便新手編輯快速入門。

貢獻列表[編輯]

感謝本書的編輯者對本書做出的貢獻!(不加入的話,您怎麼知道自己不會棄坑呢?)

參考資料[編輯]

  1. Martin Raussen; Christian Skau. Interview with Abel Laureate Pierre Deligne [採訪阿貝爾獎得主皮埃爾·德利涅] (pdf). Newsletter of the European Mathematical Society. 2013: 21 [2019-09-17]. (原始內容存檔 (PDF)於2013-10-16) (英語). For Grothendieck it was very clear: he once told me that mathematics is not a competition sport. Mathematicians are different and some will want to be the first, especially if they are working on very specific and difficult questions. For me it's more important to create tools and to understand the general picture. 
  2. (簡體中文)陶哲軒(2016年12月14日).Does One Have To Be A Genius To Do Maths?環球科學網.於2018年4月17日查閱.
  3. Dana C. Ernst, Angie Hodge, Stan Yoshinobu. What Is Inquiry-Based Learning? [什麼是基於探知的學習?] (pdf). Notices of the AMS. 2017, 64 (6): 570–574 [2018年4月17日] (英語). The objective in mathematics is not to obtain the highest ranking, the highest "score", or the highest number of prizes and awards; instead, it is to increase understanding of mathematics (both for yourself, and for your colleagues and students), and to contribute to its development and applications. For these tasks, mathematics needs all the good people it can get. 

外部連結[編輯]