高中數學/預備知識/函數

閱讀指南

學習高中數學的讀者應該具備一定程度的初中/國中數學知識基礎，同時高中可能會需要用到少量在先前階段沒有作為重點學習過的知識。本節例舉了一些學習高中數學必須掌握的函數預備知識，並刻意撇去了一部分在高中階段幾乎不怎麼會用到的初中/國中知識。讀者可以速覽本節內容，以便查漏補缺，減少知識死角。

由於代數與函數圖象有很密切的關係，我們將部分同時涉及一次函數、二次函數與反比例函數的解方程、解不等式知識也放入了本節。

函數相關章節的核心思想包括：

• 利用待定係數法或對比係數法確定含未知參數的函數。
• 理解各個關鍵參數對函數圖象的影響，理解函數的圖象變換。
• 理解函數解析式、函數圖象、方程、不等式之間的相互聯繫。

函數和平面幾何同樣都是在初中考察較多的知識板塊，但是平面幾何知識在高中及後續課程中只需要作一般程度的了解（差不多會運用勾股定理、相似比解決簡單直接的問題即可），重在從直觀的圖形性質探究中領悟其中的論證思想（反證、逆推、類比、藉助輔助線，層層抽絲剝繭）；而函數的知識和思想都貫穿數學各個階段、各個領域的學習，顯然重要得多、具有深挖的價值。就中國大陸的中學數學內容編排情況而言，將「以函數為綱領」作為中學的教材編寫和考試考察的側重點的做法開始於1958年。在此之前，中學數學常規課程到底應該包括哪些內容一直沒有定論，導致中學教學的知識點非常零散分散，不成體系。當時通過開會討論，確定這條主線後，大陸方面中學各階段的數學教學與考試的方向都開始突出此重點，其由淺入深、主次分明的學習脈絡易被學生接受，也基本能對接上後續大學課程的需要。

這裡再多說幾句，高中數學不只是對初中數學考點和難點的簡單拓展，更是為了銜接更重要的後續大學課程起過渡作用。如果要問學習高中數學是否會對高中畢業以後參加的工作（假如不再繼續讀大學）有直接幫助，那麼答案是否定的，甚至可以說高中階段所學的數學知識遠不及大學階段的數學有實際意義。誠然，學習數學可以鍛煉邏輯思維，但是「訓練思維」或是「學好以後給人編題目做」不應該是數學學習的主要目的。我們應該利用數學解決實際遇到的問題（解決我們對現實的困惑），或是更純粹一點，去深究數學規律本身的秘密（解決我們對數學的困惑）。

基礎知識

我們在這裡給出對高中有用的初中函數基礎知識脈絡，並以粗體顯示其中重要性較大的知識點。

函數的概念及其坐標系表示

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函數

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直角坐標系

有關「函數及其圖示」，讀者應該掌握的基礎知識：

• 直角坐標系常識
• 直角坐標系中點到坐標軸的距離、點與點的距離
• 判斷已知點關於原點或某條坐標軸的對稱點的坐標
• 函數的概念、函數的圖示法

平面上2點$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$間的距離為${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$。

一次函數

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一次函數

有關「一次函數」，讀者應該掌握的基礎知識：

• 了解直線斜率與截距的幾何意義
• 根據直線與坐標軸的交點信息巧設截距式
• 掌握由定點信息求解析式（待定係數法）與由解析式求定點信息的做法
• 注意直線斜率不存在的情形

通過2個點$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$的直線斜率公式：$k={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$。

關於斜率含義與夾角計算的補充

直線斜率的概念先前讀者已經遇到了，但是我們在此給它一個更明確的由來介紹，特別是從直線與x軸正方向所成的角的大小來研究斜率的含義。

對於與x軸夾角為銳角的直線，考慮該直線上2個不同的點$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2}),x_{1}<x_{2}$，由幾何關係出發易知：
$\tan \alpha ={\frac {|y_{1}-y_{2}|}{|x_{1}-x_{2}|}}=|{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}|$
再不妨設描述此直線的方程為$y=kx+b$，則可以繼續利用此式化簡上式：
$\tan \alpha =|{\frac {(kx_{1}+b)-(kx_{2}+b)}{x_{1}-x_{2}}}|=|{\frac {k(x_{1}-x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}|=|k|$
這說明這時夾角的正切值就是直線方程中一次項係數k的絕對值。夾角越小，直線越水平，傾斜程度越平緩，k的絕對值也越小。而k的正負則說明直線的朝向是朝上還是朝下。換句話說，k是傾斜程度的另一種表達形式。出於這個原因，我們把這個係數k叫做直線的斜率。

由上述分析可知，對於與x軸正方向所成夾角$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$的直線，直線斜率k的絕對值代表的就是其夾角正切值：

$|k|=\tan \alpha =|{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}|\quad (0^{\circ }<\alpha <90^{\circ })$

當k > 0時，上式連等式中由於可以直接去掉絕對值符號，是非常易用的：

$k=\tan \alpha ={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\quad (0^{\circ }<\alpha <90^{\circ },k>0)$

當k < 0時，也不難得到：

$k=-\tan \alpha ={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\quad (0^{\circ }<\alpha <90^{\circ },k<0)$

此外，雖然初中只學了銳角的正切等三角比，但是此處為了計算方便，我們補充規定$\tan 0^{\circ }=0$。這樣當夾角為0°時，仍然可以按照上述公式計算斜率。

綜上所述，我們得到：

對於斜率存在（不是沿豎直走向）且過2個不同點$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2}),x_{1}<x_{2}$的直線L，其與x軸正方向夾角$\alpha \quad (0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ })$、其斜率k（一次項係數）、兩點坐標信息的對應關係為：

$k={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}=\left\{{\begin{array}{l}\tan \alpha \quad (k>0)\\-\tan \alpha \quad (k<0)\end{array}}\right.$

對更好地描述傾斜角度的初步探究

由於斜率區分正負，夾角卻不區分正負，所以上述公式涉及絕對值的轉換。絕對值的出現，會使得換算時容易產生不便之處，對於了解直線傾斜角度與斜率的關係可能並不是最好的做法。因此我們轉而考慮是否可以找出一種與上述夾角相關的更好的描述直線傾斜度的方式。有關直線傾斜度的說法，最初直觀的動機來源於描述斜坡與地面所成的坡度大小。但是由於直線與x軸的正方向可以構成2個不同大小角，我們可以通過補充限制條件，來使得傾斜角的選取變得唯一。例如可以規定傾斜角的取值範圍是$(0,90^{\circ })$。

問題的要點在於能否保證$\tan \alpha ={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$始終成立，而不僅僅限於${\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}>0$的情形。

為此，我們可以額外約定：

• 直線與x軸正方向的夾角分正負，張角開口偏上的角度為正，偏下的為負。
• 負角度$-\alpha \quad (90^{\circ }<\alpha <0^{\circ })$的正切值為：$\tan \alpha =-\tan |\alpha |$

新規定的關係式$\tan(-x)=-\tan x$其實具有一般性，它暗示還可以將角度以及三角比的定義推廣到銳角範圍以外的任意角度。這是我們後面將會在弧度制與任意角的三角函數值一節中做的事情。

提示：雖然傾斜角的最直觀含義是斜坡與地面所成的坡度大小，但是坡度與地面所成的夾角範圍是明顯更大的，將傾斜角限制在$(-90^{\circ },90^{\circ }]$或$[0,180^{\circ })$都並不能使所有可能出現的坡度與傾斜角一一對應。

綜上，我們得到對於傾斜角度$-90^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$的直線，它的傾斜角的正切值就是這條直線的斜率k：

$k=\tan \alpha \quad (-90^{\circ }<\alpha <90^{\circ })$

而對於垂直於x軸的直線，其斜率是不存在意義的。

在高中階段，我們實際上會將三角比的概念推廣到對任意角有定義，並且將起邊在x軸正方向、終邊在直線本身上、傾斜角度只按逆時針計算時獲得的角度定義為直線的傾斜角。這樣直線傾斜角的範圍就變為了$[0^{\circ },180^{\circ })$，可以使得斜率與傾斜角之間的關係在傾斜角為鈍角時仍然保持一致。

正比例與反比例函數

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反比例函數

有關「正比例函數與反比例函數」，讀者應該掌握的基礎知識：

• 正比例函數的求解與簡單圖形性質
• 反比例函數的求解與簡單圖形性質（單調性與漸近線的直觀概念）
• 反比例函數圖象上任意一點到坐標軸的垂線所圍成的三角形面積為定值

二次函數與二次方程

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二次函數

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韋達定理

有關「二次函數與二次方程」，讀者應該掌握的基礎知識：

• 二次函數的多種等價形式
• 配方法、求根公式
• 判別式、對稱軸、韋達定理
• 含參二次函數的分類討論

$y=ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)$叫做二次函數（quadratic function），$ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)$叫做二次方程（quadratic equation）。

可以通過配湊平方（complete square）的技巧轉化二次三項式：

$x^{2}+bx+c=(x^{2}+bx+({\frac {b}{2}})^{2})-({\frac {b}{2}})^{2}+c=(x+{\frac {b}{2}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}+c$。

對二次方程配方、移項、開方後，可得求根公式：$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$。

當a = 0時，求根公式可以簡化為：$x={\frac {-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-ac}}}{a}}=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}$。

在許多問題中，我們更關心的是方程實數解的數量，而不一定需要求出具體的解。設實數解的個數為m，為判斷求根公式的所得結果在實數範圍內是否有效，規定二次方程解的判別式（discriminant）$\Delta$為：

$\Delta =b^{2}-4ac\left\{{\begin{array}{l}\ >0\quad \Rightarrow \quad m=2\\\ =0\quad \Rightarrow \quad m=1\\\ <0\quad \Rightarrow \quad m=0\end{array}}\right.$

提示：之所以總是強調「實數解」的概念，這是因為當方程在實數範圍內無解時，仍然可以出於某些特殊需要為其規定複數解等其它形式的解。

若從函數角度研究二次三項式，則由二次函數圖象的直觀規律和配方後的結果還可以知道下列關鍵信息：

• 圖象開口朝向取決於二次項係數a的正負（a > 0時開口朝上，a < 0時開口朝下）。
• 二次函數的頂點坐標為$(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}})$。
• 最大值/最小值為$y_{x=-{\frac {b}{2a}}}={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$。

函數圖象與對應方程的關係：

• 函數圖象與x軸有交點：方程有解；
• 函數圖象與x軸有n個交點：方程有n個解；
• 函數圖象與x軸沒有交點：方程無解。

由此可知，判別式除了可以用於二次方程的解的計數，也可以用於二次圖象與x軸交點的計數。

要畫出二次函數的圖象示意圖，至少需要確定出曲線頂點和它與x軸的交點的準確位置。換句話說，頂點和與軸的交點提供了刻畫其圖象的關鍵信息。對應一般形式的二次函數，在求頂點時，需要藉助頂點式或配方法；求交點時，則需要藉助因式分解法或二次方程的求根公式。

韋達定理（Vieta's laws）也叫韋達公式（Vieta's formulas），它給出了二次方程中根與係數的關係：

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\end{cases}}$

函數圖象與不等式

有關「函數圖象與不等式」，讀者應該掌握的基礎知識：

• 函數圖象與不等式結合的問題
• 二次函數與二次不等式的關係

對於函數圖象與不等式結合的問題，常常要從數形結合的思路入手。

相關例題1： 已知當x > 1時，y = x+a的圖象總在$y={\frac {1}{x}}$的圖象上方，求a的取值範圍。

相關例題2： 設曲線A的方程為y = - x + a，曲線B的方程為$y={\frac {2}{x}}$。設A與B有2個不同的交點，求a的取值範圍。

移項後整理後一側為零，另一側為二次三項式的不等式叫做二次不等式（quadratic inequality）。對於二次不等式，可以使用更直接的方法求解，即因式分解後判斷各項因子的正負來決定答案的範圍。

二次不等式的標準求解步驟：

1. 藉助移項技巧，確保將不等式的一側轉變為零，另一側變為二次三項式。
2. 嘗試求解對應方程的根，並對二次三項式分解因式。
3. 當因式分解可行時，以根作為分界點，將整個實數軸劃分為2個或3個區間。
4. 根據x在每個不同的區間上的取值情況，判斷應該選擇哪些區間作為問題答案。

提示：(1)易知x在同一區間內變化時，對應二次三項式的取值正負始終相同。故只需要考慮不同區間之間的差異。(2)當對應的二次方程的確有根時，答案只可能是取中間或取兩側的區間。

通過簡單的觀察和嘗試，我們可以總結出如下經驗：

• 在劃出的最左側區間和最右側區間上，二次三項式結算結果的符號始終與二次項係數的正負號相同。
• 不妨假設x很大（比方程最大的根還要大），此時只要看二次項係數是否大於0（也即是否符合不等號方向要求），即可確定是否能取左右兩側的區間。
• 當確保二次項係數大於0時，可以按照「大於取兩邊，小於取中間」的口訣快速確定答案範圍。

相關例題3： 解不等式x(x-2) > 0。

常用結論與常見模型

一次函數的各種形式

一次函數的圖象是直線，其關係式y = kx + b中的係數k對應於直線斜率，係數b對應於截距。因此y = kx + b也叫做直線的斜截式方程。

我們將直線的常見形式都總結如下：

• 直線的點斜式方程：$y-y_{1}=k(x-x_{1})$，其中k是斜率，且該直線過定點$P(x_{1},y_{1})$；
• 直線的斜截式方程：y = kx + b，其中k是斜率，b是直線在y軸上的截距；
• 直線的兩點式方程：${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$，這樣的直線過兩定點$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$；
• 直線的截距式方程：${\frac {x}{a}}={\frac {y}{b}}=1$，這樣的直線過定點$A(a,0),B(0,b),a,b\neq 0$；
• 直線的一般式方程：Ax + By + C = 0，A和B不可以同時為0。

其中的每一種形式都有其最適合使用的場合，我們為了方便稱呼它們就根據列式的特點起了這些名字。在用待定係數法求解類型已知、包含未知參數的函數表達式時，應該根據涉及已知條件的多寡來設成形式最簡潔的表達式。當直線斜率存在時，以上各種直線方程可相互轉化，而且大多轉化為直線的斜截式方程y = kx + b。

這些知識還會在後續的直線方程知識補充章節中繼續提到。

二次函數以及韋達定理的各種形式

二次函數有下列3種常見形式：

• 一般式：$y=ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)$，其中a、b、c為常數。
• 頂點式：$y=a(x-h)^{2}+k\quad (a\neq 0)$其中，a、h、k為常數。
• （與x軸的）交點式（也叫做兩點式、兩根式）：$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\quad (a\neq 0)$，其中a為常數，$x_{1},x_{2}$分別為二次函數與x軸的2個固定交點的橫坐標。

容易發現：

• 二次函數頂點式是對一般式配方後的結果。
• 從二次函數的頂點式容易看出對稱軸和最值大小；如果已知對稱軸和最值大小，則用頂點式表示二次函數是最快捷的。
• 從二次函數的頂點式容易看出圖象與x軸的2個交點；如果已知圖象與x軸的2個交點，則用交點式表示二次函數是最快捷的。

韋達定理有下列常見用法：

• 結合平方轉化技巧構造兩根之和與兩根之積的形式：
  

${\begin{array}{l}|x_{1}-x_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2}}}\\={\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\quad (={\sqrt {(-{\frac {b}{a}})^{2}+4\cdot {\frac {c}{a}}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4c}{a}}}}={\frac {\sqrt {b^{2}+4ac}}{a}})\end{array}}$

• 結合通分、顛倒等分式變形技巧構造兩根之和與兩根之積的形式：

${\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}={\frac {x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}}\quad (={\frac {-{\frac {b}{a}}}{\frac {c}{a}}}=-{\frac {b}{c}})$

如果題目只是已知兩根之和與兩根之積，就可以採用這種變形拼湊項的思路求解$|x_{1}-x_{2}|,{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}},{\frac {x_{1}}{x_{2}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}}},x_{1}^{2}+x_{2}^{2},{\frac {1}{x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{x_{2}^{2}}},|{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}|$的值。

函數圖象的平移規律

函數圖象平移口訣：（對x）左加右減，（對y）上加下減。

相關例題1： 藉助函數平移思想，分別作出下列函數的圖象：

(1) $y=(x-1)^{2}$；

(2) $y=(x-1)(x-2)+1$；

(3) $y=2(x-1)^{2}+1$；

(4) $y=(1-x)^{2}-1$；

(5) $y=-(x-2)^{2}$；

(6) $y={\frac {x-1}{x-2}}$。

相關例題2： 求函數$y={\frac {k}{x+1}}\quad (k\neq 0)$的取值範圍。

解高次整式不等式的穿根法

我們知道，由二次函數的兩根式和圖象特點，容易求解二次不等式。例如對於(x-1)(x-2) > 0，可以設y = (x-1)(x-2)，由開口向上且經過x = 1、x = 2的二次函數圖象特徵可知，滿足y > 0的點的橫坐標分布的區域就在x < 1或x > 2的範圍內。

類似地，這種方法也可以推廣到高次的整式不等式。具體地，我們考慮求解形如p(x) > 0的問題，其中p(x)是關於x的多項式。

穿根法也叫做根軸法、數軸標根法、零點分段法、區間法、穿針引線法，是一種按根的位置將數軸分段，再通過數形結合思想分析求解上述整式不等式（即p(x) > 0）的方法。具體步驟為：

1. 對p(x)這一側作因式分解。如果無法因式分解，則此法無法解決問題。
2. 利用因式分解的結果，得到p(x) = 0的全部根。
3. 將根從小到大排序，作為分界點將x軸分割為多段區域。
4. 用一條連續的函數曲線粗略地串起所有的根，並保證：
   1. 曲線嚴格穿過所有的根，且每個根只要穿過一次。
   2. 每多穿過一個根就改變一次曲線上y值的正負。
   3. 曲線絕不穿過x軸上的其它點。
   4. 曲線在某個區間上的取值正負決定曲線在該區間上是位於x軸上方，還是下方。
5. 結合圖象走勢和不等號朝向，得到答案。

注意：使用穿根法解不等式時，需要注意最高次項係數的正負。最高次項係數的正負如果看錯了，則答案會取為完全相反的區間。

相關例題1： 分別解下列不等式：

(1) (x-1)(x-2)(x-3) > 0；

(2) $x^{3}\geq 5x$。

相關例題2： 解不等式$(4-x^{2})(x-2)^{2}>0$。

補充習題

參見

• 初中數學/目錄/函數
• 算術與代數預備知識