高中数学/向量与复数/复数的概念与基本运算

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阅读指南[编辑]

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对复数的研究起源于方程求解。后来人们发现并严格证明复数系对一切代数运算封闭,此即我们本节会提到的代数基本定理。换句话说,一切代数方程在复数范围内始终有解。这是我们青睐复数的一大原因。另一方面,实数范围内的众多结果可以直接推广到复数范围内,有的时候还会得到更好的结果,这使人们转而思考复数可能是比实数更加自然、更加普适的存在。

由于复数不是中学考试重点,传统的高中数学教科书大多只对复数及其四则运算略作介绍,但是对发明复数的必要性语焉不详。我们认为,如果要学习一个知识,就应该指出它能解决的一些问题,而不是为了后续课程的知识铺垫而生硬地塞入一些看似无用的知识点。学习的灵魂是提出好的问题和解决困惑,而非堆砌知识。

预备知识[编辑]

本节只介绍复数的基本概念和加减运算,基本上不需要依赖高中数学其它章节的知识。可以阅读预备知识中的算术与代数部分,重点了解二次方程的求解即可。

考试要求[编辑]

中学考试对复数的考察比较简单,大部分还是变相地考实数运算或二次方程的问题。只要平时的学习不是在完全乱搞,实在不行考前搏一搏,搞定考试应该是小菜一碟的事情。

后续课程联系[编辑]

复数理论和微积分学结合后产生的复分析既是基础数学中最优雅的分支之一,也与在其它理、工类学科中应用极广的偏微分方程理论联系密切(例如柯西-黎曼方程拉普拉斯方程存在直接对应)。复数也在电路学和物理学中具有重要功能。如果说电路分析中的复数方法多半只是将其作为辅助计算的工具利用,那么量子力学则是更直接地将世界的法则建立在复数和概率之上。

基础知识[编辑]

知识引入[编辑]

人们在解方程的过程中尝试解决负数不能开平方的不便,引进了一个有特殊运算法则的新数i,进而创造出复数。当然,古代的数学工作者并没有想象到复数在后来的重要性。我们就以2个无实根的二次方程的求解来引入复数。

设二次方程
由于判别式,此方程显然没有实数解。
但是我们仍可以继续化简:

如果定义特殊量,使其满足,那么方程可以继续求解:

其中引入的量i就叫做虚数单位imaginary unit),借助它可以表达在实数范围内无解的方程的根。

再设二次方程
借助新关系式,可以尝试求解此方程:

Crystal Clear action info 提示:请注意我们在这里使用的写法和代数变形都是没有论证过有效性的。但是读者可以通过将算出的答案代入原方程来验证答案的自洽性。

这2个例子主要只是粗略说明i的起源和最简单用法,虽然看似没有解决很大的问题,但随着学习的深入,我们会逐渐发现虚数的作用远不止如此。

复数和复平面的概念[编辑]

复数complex number)是形如的数,其中a叫做此复数的实数部分(简称实部real part),b叫做此复数的虚数部分(简称虚部imaginary part),i叫做虚数单位。除常规的加减乘除以外,我们额外规定虚数单位还满足特殊运算规律。全体复数组成的集合叫做复数集the set of all complex numbers),记作。其中当时,这样的复数叫做虚数imaginary number);当时,这样的复数叫做纯虚数purely imaginary number)。如果2个复数的实部和虚部都分别对应相等,那么我们就称这2个复数相等。[1]

Crystal Clear action info 提示:(1)复数z的实部可以用记号记为Re(z),虚部可以记为Im(z)。不过我们准备等到下一节复数与三角学再正式介绍这2个符号。(2)“数集”(number set)和“数系”(number system)可以说是同一个概念,“复数集”与“复数系”也是如此,可以自由混用。

复数除了可以写成这样的代数形式以外,还可以表示为几何化的向量。可以用平面直角坐标系中一个坐标化的向量表示复数,也可以用特殊的平面极坐标描述的点表示一个复数。换句话说,正如实数可以和数轴上的点一一对应,复数可以与平面上的点一一对应起来。建立了直角坐标系表示全体复数的平面叫做复平面,其水平轴叫做实数轴,竖直轴叫做虚数轴。与平面向量类似,我们定义复数modulus)为对应向量的长度,即[1]

Crystal Clear action info 提示:(1)由于把复数看成向量是很自然的事情,如果已知一个数是复数,我们在将其视为向量描述时,经常会省略复向量的箭头符号。(2)有的资料也把复数的模叫做绝对值(absolute value)。

由以上规定可知:

  • 实数集是复数集的真子集。或者说,复数是实数的扩充。
  • 一个数是实数,就肯定不是虚数。一个数是复数,则不一定是虚数。[2]
  • 我们没有规定复数的大小概念。换句话说,复数不能直接比较大小。[1]
  • 复平面实轴上的点都表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数。[1]

Crystal Clear app error 注意:把复数记为时,不要遗漏检查这一条件。否则,a、b不一定分别表示这个复数的实部和虚部。[2]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知i是虚数单位,,则m = 1是的(    )条件。(本题假定读者已经了解基本的数理逻辑术语。)

A.充分不必要;B.必要不充分;C.充要;D.既不充分又不必要

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知i是虚数单位,是纯虚数,求a的值。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 已知i是虚数单位,复数是纯虚数,求实数a的值。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 已知i是虚数单位,复数,求a取什么值时:

(1) z是实数?
(2) z是虚数?
(3) z是纯虚数?

Crystal Clear action edit 相关例题5: 已知i是虚数单位,求当实数m取什么值时,复数分别是:

(1) 实数;
(2) 虚数;
(3) 纯虚数。

Crystal Clear action edit 相关例题6: 已知i是虚数单位,,求x的值。

Crystal Clear action edit 相关例题7: 已知i是虚数单位,复数在复平面内对应的点在第四象限,求m的取值范围。

Crystal Clear action edit 相关例题8: 已知i是虚数单位,复数在复平面内对应的点的为z,求实数m取什么值时,点z:

(1) 在实数轴上;
(2) 在虚轴上;
(3) 在第一象限。

复数的基本运算[编辑]

设3个复数,我们规定复数有以下代数运算[1]

  • 虚数单位乘法特性:
  • 加减法:
  • 乘法:
  • 除法定义为乘法的逆运算。

Crystal Clear action info 提示:我们会看到,2个复数的商仍然是复数(排除零当作除数的情况)[1],所以这样定义的除法是有意义的。

可以发现复数的四则运算满足以下规则[1]

  • 加法交换律:
  • 加法结合律:
  • 乘法交换律:
  • 乘法结合律:
  • 乘法对加法的分配律:
  • 在等式两边同时加减或乘以一个复数后,等式仍然成立。

特别地,当一个复数的虚数部分为0时,实际上仍遵循实数运算法则。

虚数单位有以下常用等式:

  • 整数次幂的周期性:
  • [2]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知i是虚数单位,对于复数,下列说法正确的是(    )。

A.为纯虚数;
B.为实数;
C.
D.-1的平方等于i。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知i是虚数单位,判断下列说法正误:

(1) 若,则(a+1)是纯虚数。
(2) 若,则
(3) 若是纯虚数,则实数

Crystal Clear action edit 相关例题3: 已知i是虚数单位,(z - i) i = 2 + i,求z的值。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 已知i是虚数单位,,求z的值。

Crystal Clear action edit 相关例题5: 已知i是虚数单位,a是实数,b是纯虚数,(2a - 1) + (3 - b) i = b - i,求a和b的值。

Crystal Clear action edit 相关例题6: 已知i是虚数单位,,求当为纯虚数时应该满足的条件。

Crystal Clear action edit 相关例题7: 已知i是虚数单位,,求m的值。

Crystal Clear action edit 相关例题8: 已知i是虚数单位,,求实数m的值。

Crystal Clear action edit 相关例题9: 已知i是虚数单位,若复数z满足(3 - 4i) z = 4 + 3i,求z的值。

在进行除法运算时,如果遇到除数为虚数的情况,通常先把写成的形式,再将分子与分母都同时乘以(c-di),即可利用平方差公式化简分母[1]。这种做法非常类似对分式进行分母有理化的技巧。

Crystal Clear action edit 相关例题10: 已知i是虚数单位,计算或化简下列各式:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)

Crystal Clear action edit 相关例题11: 已知i是虚数单位,求证除法公式:

Crystal Clear action edit 相关例题12: 已知i是虚数单位,复数,求a+b的值。

复数的模运算具有下列性质[2]

Crystal Clear action edit 相关例题13: 已知i是虚数单位,某复数与它的模的和为,求这个复数。

Crystal Clear action edit 相关例题14: 已知i是虚数单位,,求a+b的值。

Crystal Clear action edit 相关例题15: 已知i是虚数单位,,求z的值。

Crystal Clear action edit 相关例题16: 已知i是虚数单位,,求z的值。

Crystal Clear action edit 相关例题17: 已知i是虚数单位,|z| = 3,z + 3i是纯虚数,求z的值。

Crystal Clear action edit 相关例题18: 已知i是虚数单位,,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题19: 已知i是虚数单位,复数m满足,求z和|z|的值。

从几何角度看,由于复数可以用向量描述,所以:

  • 复向量的长度就是复数的模。
  • 复向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则。
  • 复向量与实数的数乘与普通向量的数乘规则相似。
  • 表示在复平面上的2个对应点之间的距离[2]

Crystal Clear action info 提示:都能与平面上全部的点一一对应,且其加减法都可以通过向量的加减法描述,但是本身没有直接定义乘法和除法,则是自带乘除法的。

Crystal Clear app error 注意:在复平面上,复数与复数的乘法有不同于普通向量数乘的几何意义。我们会在复数与三角这一节中继续讨论其乘法的几何意义。

Crystal Clear action edit 相关例题20: 已知i是虚数单位,求复数在复平面内对应的点的坐标。

Crystal Clear action edit 相关例题21: 已知i是虚数单位,复数z在复平面内的坐标为(3, 1),求复数在复平面内的坐标。

Crystal Clear action edit 相关例题22: 已知i是虚数单位,在复平面内对应的点位于实数轴上,求m的取值。

Crystal Clear action edit 相关例题23: 已知i是虚数单位,均为实数,复数在复平面内对应的点在第一象限,求a的取值范围。

Crystal Clear action edit 相关例题24: 已知i是虚数单位,如果复数在复平面内对应的点在直线上,求|z|的值。

Crystal Clear action edit 相关例题25: 已知i是虚数单位,复数z在复平面内对应的点在第一象限的角平分线上,求复数在复平面内对应的点的轨迹方程。

Crystal Clear action edit 相关例题26: 已知在复平面上,i是虚数单位,设点A、B、C对应的复数分别为i, 1, 4+2i。过A、B、C作平行四边形ABCD,求此平行四边形的对角线BD的长。

Crystal Clear action edit 相关例题27: 已知i是虚数单位,

(1) 若z为纯虚数,求a的值。
(2) 若复数z在复平面上对应的点在第四象限,求实数a的取值范围。

共轭复数与共轭特性[编辑]

实部相同、虚部相反的2个复数叫做一对共轭复数complex conjugates[1]。此时,其中一个数叫做另一个数的共轭复数或复共轭。z的共轭复数记为。若,则有

和、差、积、商、幂这些运算的共轭也都有相似规律[2]

复数共轭的用途体现在:

  • 复数的除法结果化简时,经常需要将分子和分母同时乘以分母的共轭复数。
  • 在系数均为实数的代数方程中,虚数解总是成对出现的,而且它们刚好是成对的共轭复数。这一结论叫做实系数方程的虚数根成对存在定理。[3]
  • 复数及其共轭复数的四则运算和一元多项式结果存在密切联系。

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知i是虚数单位,,求证:

(1) 对一切复数z成立。
(2) 对一切复数z成立。
(3) 复数z为实数的充要条件是

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知i是虚数单位,求的共轭复数。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 已知i是虚数单位,已知,复数(3a + 2b) + 5ai与复数18 + (b - 2)i的共轭复数相等,求a的值。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 已知i是虚数单位,,求a和b的值。

Crystal Clear action edit 相关例题5: 已知i是虚数单位,,求z的值。

Crystal Clear action edit 相关例题6: 已知i是虚数单位,,求a的值。

Crystal Clear action edit 相关例题7: 已知i是虚数单位,a、b为共轭复数,,求a和b的值。

Crystal Clear action edit 相关例题8: 已知i是虚数单位,求实数m分别取何值时,可以使复数

(1) 与2 - 12i相等;
(2) 与复数12 + 16i共轭;
(3) 在复平面上的对应点在x轴上方。

Crystal Clear action edit 相关例题9: 已知i是虚数单位,

(1) 若,求|m|的值。
(2) 若,求a和b的值。

Crystal Clear action edit 相关例题10: 已知i是虚数单位,设,求z的共轭复数的虚部。

Crystal Clear action edit 相关例题11: 已知i是虚数单位,求证是共轭复数。

Crystal Clear action edit 相关例题12: 已知i是虚数单位,设是一个复变量的一元多项式,求证:

常用结论与常见模型[编辑]

二次方程的求解[编辑]

到目前为止,在复数范围内,二次方程可以使用配方法和求根公式法求解。也可以使用待定系数法,将复变量方程转化为2个实变量方程求解。

复数数列问题[编辑]

复数与中学数学相关的例子是复数数列。复数组成的数列也有等差等比的概念,等差和等比数列的相关求和公式也适用于复数数列。有些含复数的分式也可以通过裂项法变形,只是会繁琐一些。

Crystal Clear action edit 相关例题: 已知i是虚数单位,复数数列的通项公式为,求此复数数列的前n项和的表达式。
(答案:。)

另一个有趣的例子是当常系数差分方程出现复数根时,与其相关的特征方程法仍然成立,且当特征根为纯虚数时,能推断出答案为周期数列。不过这种差分方程的求解细节我们不会在这一节细讲,只是稍微提一下解出来的通项公式中出现复数时,可能出现什么不一般的情况。有的读者可能已经学到了有些整数数列的通项公式中存在无理数作为系数。同理,也可以构造出通项公式包含复系数的整数数列。例如数列就是一个系数包含复数,但是取值都是整数的数列。利用计算机软件容易粗略验证其前10项的值为:
2, 0, -4, -8, -8, 0, 16, 32, 32, 0
我们会在紧接着的下一节利用棣莫弗公式证明它的每一项确实都是整数。

代数基本定理与复数域内的因式分解[编辑]

作为简单但是有用的知识拓展,我们不加证明地空降如下的定理:

代数基本定理fundamental theorem of algebra):任何一个一元复系数方程式都至少有一个复数根。[3]

Crystal Clear action info 提示:代数基本定理的证明方法都需要较多抽象代数复分析的预备知识,而且涉及到复变函数与复平面区域变化的(所谓拓扑学的)分析,没办法在这里铺开讲。

Crystal Project Warehause 代数基本定理表明:

  • 多于1次的一元多项式总可以在复数范围内分解因式。
  • 复数域是代数封闭的。换句话说,任何只含四则运算、指数、根式的代数方程在复数范围都内可解,不会再遇到需要考虑更大范围才能求解的情况[4]

Crystal Clear action info 提示:“复数”一词源于群论,其实就是复数集与复数四则运算规律的合称。

“……每个代数方程都可以求解了!这是一项极好的事情,我们可以把它(细节)留给数学系去证明。它的证明美妙又有趣,但是肯定也并不显然。实际上,最可能的猜测是我们仍然需要一再地发明新的东西。但是这一切最神奇的地方就在于不再需要这么做了。这就是最后一次发明。在发明复数之后,我们发现复数运算法则会一直管用,我们到此结束了发明新事物之路。我们能找出任何复数的复指数,我们能求解任何代数形式的方程,只要是包含那一堆符号的有限个项都行。我们(求解那些代数方程时)没有理由再会发现新的数了。比如说,i的平方根,(在复数范围内)也有确定的结果,并不会带来新事物;也是。”

——理查德·费曼费曼物理学讲义·卷一》第22章“代数”[5]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 仿照实数域内的二次方程情形,求证:一元多项式的韦达定理在复数域内仍然成立。[3]

Crystal Clear action edit 相关例题2: 求二次方程的2个根之积。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 在复数范围内对下列各式进行因式分解:

(1)
(2)

有时候,结合实系数方程的虚数根成对存在定理,可以迅速判断方程的某些复数解的共轭复数也一定是方程的解。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 已知i是虚数单位,一元三次方程的其中2个根为3和3-2i,求它的全部三个根之和。

Crystal Clear action edit 相关例题5: 已知i是虚数单位,设一元二次函数。已知f(x) = 0的其中1个根为3-2i,求f(x)的对称轴方程。

Crystal Clear action edit 相关例题6: 已知i是虚数单位,在复数范围内求方程中x的一个解。

实数范围内的众多数学结论可以不加修改地直接推广到复数范围内(表述形式上几乎不需要改动,但是正确性需要证明),例如韦达定理、数列求和方法。有的时候还会得到更好的结果,例如某些通项公式中带有复数的实数数列、因式分解问题。这些都有通过前面或刚才介绍的代数基本定理和几个例题得到体现。复数带来的便利远不止如此,我们之后会继续学习复数与三角学的联系,我们到那一节再继续讨论复数的价值。

Crystal Clear action edit 相关例题7: 高斯在研究数论中的二次互反律时,提出了高斯整数的概念。高斯整数是指形如的复数,可以将一些在整数范围内不能分解因数的质数表示为2个高斯整数的乘积。在复数范围内对下列数字进行质因数分解:

(1) 2;
(2) 5;
(3) 7;
(4) 13。

复数运算的注意事项[编辑]

实数的分数次幂运算法则在复数范围内失效。例如假定此规律成立,则会推出以下矛盾:

更准确地说,不是这种逆运算关系失效了,而是当指数为分数时,复数域上的幂函数是多值的,笼统地当作单值函数套用实数的指数运算律会导致不同解析分支中的取值出现混乱。当然,标记不同取值的解析分支超出了中学数学的教学范围。

Crystal Clear app error 注意:复数的运算和实数的运算并不一样,不能假定实数的运算规律都能照搬到复数中去。没有严格证明的结论不能随意使用。

Crystal Clear app kdict 知识背景:一个比较极端的常见例子是复对数。如果不限制取值范围,它可以是无穷多值的。即对于自变量的一个取值,会有无穷个结果值与之对应。

回忆在学习实数时,我们将根号运算的结果定义为一个非负数的算术平方根。我们没有正式定义根号下出现负数或虚数是表示什么意思,因此这类式子是意义不明的,不能先入为主地认为它一定成立。我们可以补充规定,但是在运算时仍要非常小心地使用它,以免出错。

包括在内的许多常见结论对于复数失效或失去意义。一切必须基于它们才能论证的恒等式、不等式都不能直接应用于复数。

Crystal Clear action edit 思考:如下的三角不等式是否对于复数也成立?(将不等式中的绝对值当作模。)

[6]

Crystal Clear action edit 思考:对于任意的3个复数a、b、c,如果|a| < |b|, |b| < |c|,是否一定也有|a+b| < |2c|?

另一个需要小心的是实部与虚部的识别。将一个复数z记为a+bi的形式时,如果不能确定a和b都是实数,则不能判断a和b分别对应z的实部和虚部,进而很多与实部、虚部直接联系的公式不能直接套用。[2]

Crystal Clear action edit 相关例题: 已知i是虚数单位,分别判断下列各个说法是否正确:

(1) 形如a + bi的都是虚数。
(2) 形如z = a + bi的共轭复数一定是a - bi。
(3) ,一定有|a + bi| = |b + ai|成立。
(4) 如果z = a + bi, a = 1, b = 2i,那么
(5) 如果,a、b、c、d是4个互不相等的虚数,则

Crystal Clear action edit 思考:为什么复数定义了除法,而实向量没有除法?

求复数z在复平面上表示的图形[编辑]

我们列举一些常见的复平面上的图形方程(对于椭圆和双曲线的描述需要读者了解平面解析几何相关章节的基础知识):

  • 满足的复数z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线。[7]
  • 满足的复数z对应的点的轨迹是以为圆心,r为半径的圆。[2][7]
  • 满足的复数z对应的点的轨迹是以点为焦点,长轴长度为2a的椭圆。[2][7]
  • 满足的复数z对应的点的轨迹是以点为焦点,实轴长度为2a的双曲线。[7]

除两点间的距离公式外,定比分点公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式也都有涉及复数的版本。[7]

计算机求解[编辑]

Mathematica[编辑]

Python[编辑]

补充习题[编辑]

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求证:在复平面上,可以将平行四边形恒等式写为复数的形式

参考资料[编辑]

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 人民教育出版社中学数学室. 第4章“数系的扩充——复数”第4.1节“复数的概念”和第4.2节“复数的运算”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第3册 (选修2) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 148–153. ISBN 7-107-17448-7 (中文(中国大陆)). 
  2. 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 孙维刚. 第2篇“高中数学各章学习指要”第2部分“高中代数”第11章“复数”. (编) 温丹丹. 孙维刚高中数学. 名家导学系列 1. 中国北京市海淀区中关村北京大学校内: 北京大学出版社. 2005: 135–138. ISBN 7-301-08497-8 (中文(中国大陆)). 
  3. 3.0 3.1 3.2 岑爱国. 第3讲“复数与方程”. (编) 沈国明 (责任编辑). 复数与多项式. 高中数学竞赛专题讲座 1. 中国杭州天目山路148号: 浙江大学出版社. 2007: 22–23. ISBN 978-7-308-05379-2 (中文(中国大陆)). 
  4. 人民教育出版社中学数学室. 第4章“数系的扩充——复数”第4.3节“数系的扩充”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第3册 (选修2) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 154–156. ISBN 7-107-17448-7 (中文(中国大陆)). 
  5. Richard Feynman; Robert B. Leighton; Matthew Sands. Algebra. The Feynman Lectures on Physics (HTML) 1. Michael A. Gottlieb (在线版制作者); Rudolf Pfeiffer (在线版制作者). 加州理工学院. 2013年 [2021年11月14日] (英语). ... every algebraic equation can be solved! This is a fantastic fact, which we must leave to the Mathematics Department to prove. The proofs are very beautiful and very interesting, but certainly not self-evident. In fact, the most obvious supposition is that we are going to have to invent again and again and again. But the greatest miracle of all is that we do not. This is the last invention. After this invention of complex numbers, we find that the rules still work with complex numbers, and we are finished inventing new things. We can find the complex power of any complex number, we can solve any equation that is written algebraically, in terms of a finite number of those symbols. We do not find any new numbers. The square root of i, for instance, has a definite result, it is not something new; and i^i is something. 
  6. 岑爱国. 第1讲“复数的概念与运算”. (编) 沈国明 (责任编辑). 复数与多项式. 高中数学竞赛专题讲座 1. 中国杭州天目山路148号: 浙江大学出版社. 2007: 1–2. ISBN 978-7-308-05379-2 (中文(中国大陆)). 
  7. 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 岑爱国. 第2讲“复数及其运算的几何意义”. (编) 沈国明 (责任编辑). 复数与多项式. 高中数学竞赛专题讲座 1. 中国杭州天目山路148号: 浙江大学出版社. 2007: 11. ISBN 978-7-308-05379-2 (中文(中国大陆)). 

外部链接[编辑]

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