高等數學

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本書定位於普通基礎教育,若希望有更深層次的了解,請參閱維基教科書中專業書籍,如:幾何學代數學集合論

如果您想要自學,請參考《高等數學》(同濟大學數學系編,高等教育出版社)

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在中國大陸本專科院校的理工類院系還有部分經濟類院系,都會把一門叫做高等數學的基礎課程作為其他課程的先繼課程來安排。總的來說,這裡所說的高等數學,指的是在大學階段其他某些學科所要用到的基礎數學知識,並沒有一個具體的劃線,規定什麼屬於高等數學,什麼不屬於高等數學,在這裡,我們把比較流行的教材加以總結整理整並試圖以平易近人的方式向讀者娓娓道來並期待改進。

數學[編輯]

數學,就是現實的規律。現實如同遊戲,所以,反映現實的數學,也就如同遊戲。只不過這個遊戲是不可能玩到頭的,而且,想玩兒好這個遊戲,需要異常專注。 當今的數學的很多內容都很是抽象,用一個簡單的符號表徵一個準確的意思,但是不同角度不同方面的意思太多了,這直接導致數學的符號異常繁雜,這對於熟悉那些符號的個體而言,清晰明了準確恰好,用着方便看着舒心,但這對於不熟悉的個體而言,總是災難性的,要花很多時間來熟悉。

函數、極限與導數[編輯]

集合[編輯]

高等數學中的集合,顧名思義即可。比如掛着的那些堆衣服,有幾個襪子,有件襯衫,還有床單,這些就可以是個集合:晾衣繩上衣服的集合。不過這有些廣義。數學是對現實規律的思考。

而思考現實規律,就要一定程度上的無視一些特徵,重視另一些特徵---就像晾衣繩上的衣服,我只考慮有幾個,具體哪個衣服上有幾個扣子床單上的藍格子有多少個我都不關心,晾衣繩某些位置上掛的我看不到也不知道的那些細小纖維什麼的我也不關係,我只管有多少件我注意得到的衣服(無視了一些特徵);與此同時我一定不會糊塗到把兩件衣服認為是一個,儘管襪子比床單小很多而且襪子要一對一對穿,但是這裡我還是把一隻襪子認為就是一件衣服,儘管小了點兒(重視了另一些特徵)。這裡無視的特徵是我暫時用不上的我不必加以考慮的,重視的特徵是我所要考慮的。就像同樣一群高矮胖瘦的個體們(沒有特別尤其非常極端不可接受地胖的個體),如果坐客車,那只需考慮幾個個體不需要考慮體重,但是如果走顫顫巍巍的峽谷中的脆弱的小草繩橋,那不考慮體重恐怕危險。隨之而來還有一個概念:如果把上述坐客車或者過草繩橋的那群個體看做一個集合,那麼,其中每一個個體,就可以被稱作該集合的元素。簡稱元素。請注意,每次提到元素(當然不是指化學上或者哪裡的,這裡指數學上的),就一定是集合中的元素,一定是某特定集合(已知或者未知)中的元素。

數學是對現實規律的思考,思考的對象一般都可以認為是集合中的元素。這裡集合中的元素,反映的是你所思考的方面的特徵。 隨之而來的另一些基礎性概念就非常簡單但是必要了。

但是,集合和元素的概念,可一定不是死死的。可以把「晾衣繩上的衣服」,「地上的雜物」,「電腦機箱中的各類零件」等等看做是「我當前所居住的屋子裡的所有東西」的元素,而這些(集合的)元素本身,也是個集合。這是一個集合,並且是一個很好的集合!

函數[編輯]

函數,英文function,可以認為就是「關係」的意思,表示一種對應關係。按照邏輯上的複雜程度可以大致分為單值函數和多值函數,其中,多值函數一般不在高等數學的範圍里,高等數學裡主要考慮單值函數。下面也只討論單值函數(注意,下面只討論實數域單值函數,更多的詳見專業教材!)。

請千萬別認為函數是多麼複雜的,或者多麼簡單的。函數在高等數學中的主要意義,就是反映了一個從A到B的關係,而函數的表達式等等,就表達了那個關係的具體細節(當然,這些都要在一定範圍內:比如要在定義域內)。打個比方來說,比如一堆電線(這個電線是指常規的電線),電線都有兩端,多麼亂麻的一堆電線,你抓住一端,就一定能找到另一端,至於中間糾纏成什麼德行,那就是那個關係的自身屬性了。而如果有了這個關係---這個關係大致可以認為是個規律,對吧?找到規律了,就可以加以分析,可以通過這個規律得到想要的信息,知道了這個信息,就可以知道怎麼從容應對。

比如函數表達的是一種關係,在這種關係下,2會變成4,而12會變成144,即2→4,12→144. 依次類推,所有的實數都會變成它自己的平方.

單值函數,顧名思義(當然,高等數學裡有很多不可以顧名思義的醜陋的專有名詞,請花些時間熟悉,別讓那些用了很久的不方便顧名思義的名詞成為你的障礙),就是單值的---就比如,假如某個單值函數是從線段,到線段,的一個映射,表示了線段線段的一個關係,那麼,上每一個點都對應了上唯一點,上每一個點都有上的點與之相對應。就像,(),一點五和二點五以內的每一個點(但不包括1.5和2.5),都有一個值相對應.

在函數不是非常複雜,換句話講,非常簡單的時候,就像,這個表達式就足夠反應信息了,但是對於某些稍微複雜寫的,比如,(這表示取值在2和7之間,不包括2但是包括7),這個恐怕就不是一些不熟練的個體一眼能看出規律來的,而對於恐怕對於初學者來說就會更加眼暈了。在這裡解釋下,初學者可能不清楚,就表示的五次方(如果不清楚是什麼,請自行搜索),但是在表達式不是很簡單的時候,直接想普通的指數那樣寫會非常容易混淆,所以用表示.

實數[編輯]

能在數軸上找到相對應的點的數,包括有理數與無理數. 今後在研究的函數,默認都以實數集為定義域.

區間[編輯]

用於表示兩個數之間的範圍.

實數的絕對值[編輯]

一個實數的絕對值,代表該數到原點的距離。用符號| |表示,例如數a的絕對值記為:,-3的絕對值則為.

常數與變數[編輯]

常數為固定的數,變數則是隨著定義域的值而改變的數.

函數概念[編輯]

數學中的一種對應關係,是從非空集合到實數集的對應。簡單地說,甲隨着乙變,甲就是乙的函數 。精確地說,設是一個非空集合,是非空數集,是個對應法則 , 若對中的每個,按對應法則,使中存在唯一的一個元素與之對應 ,就稱對應法則上的一個函數,記作,稱為函數的定義域,集合為其值域(值域是的子集),叫做自變數,叫做因變數,習慣上也說的函數。 若先定義映射的概念,可以簡單定義函數為:定義在非空數集之間的映射稱為函數.

函數的表示法[編輯]

表格法、圖像法,解析法

函數的幾種特性[編輯]

  • 有界性
  • 單調性
  • 奇偶性
  • 周期性

反函數[編輯]

對於函數,我們將稱為函數的反函數.

基本初等函數[編輯]

指數函數、對數函數、冪函數、三角函數、反三角函數.

複合函數·初等函數[編輯]

初等函數包括冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數,有的書上還包括常數函數.

極限[編輯]

極限概念是高等數學最基本的概念,因為數學分析的其他基本概念可用極限概念來表達,且解析運算(微分法、積分法)都可以用極限運算來描述。 極限概念是求某些實際問題的精確解答而產生的。我國古代數學家劉徽(第三世紀)利用圓內接多邊形來推算圓的面積的割圓術,就是極限思想在幾何學上的應用。劉徽說:「割之彌細,所失彌少。割之又割,以至少不可割,則與圓周合體而無所失矣。」 參見極限專欄

函數的連續性[編輯]

參見函數的連續性專欄

在一個點處連續[編輯]

定義:如,則函數在點處連續。

當然,為了讓等式有意義,等號兩邊的式子必須是有意義的。亦即,判斷一個函數的連續性可以從以下三點入手:

  1. 左右極限存在(並且有限,不能為無窮大)
  2. 存在(函數在點處有定義)
  3. 左右極限相等,即

在一個區間上連續[編輯]

將函數在單點處連續的定義擴展一下,就可以得到函數在區間上連續的定義。

如果函數在該區間內每一點都連續,那麼它在區間上連續。

請注意,對於開區間來說,函數沒必要在端點, 處連續。

閉區間的處理則要複雜些。對於區間來說,我們要解決函數在端點處的連續問題。事實上,函數沒必要在端點處連續,只要在朝着區間內部方向連續就可以了。

讓我們來定義一下左連續右連續

如果存在(且有限),存在,並且這兩個量相等,即,就說函數處右連續。

左連續的定義與此類似。

如果我們說函數上連續,就意味着:

  1. 函數中的每一點都連續
  2. 函數處右連續
  3. 函數處左連續

最後,如果函數在其定義域上連續,我們就說他是連續的

連續函數的例子[編輯]

多項式都是連續函數。

三角函數在定義域內連續。

零點定理[編輯]

定義:如函數上連續,並且,,那麼,在區間上至少有一點,使得。如果,結論也成立。

這個定理可以用來判定方程是否有解,也可以確定解的範圍。

舉個例子:讓我們證明任意的奇次多項式至少有一個根。

為任意多項式,則其在取一絕對值足夠大的負值時函數值一定與最高次項係數符號相反,且其在取一足夠大的正值時函數值一定與最高次項係數符號相同。故由介值定理得證。

函數的微分[編輯]

理論知識[編輯]

中值定理[編輯]

多元函數的微分[編輯]

實際應用[編輯]

曲線積分與曲面積分[編輯]

函數的積分[編輯]

不定積分[編輯]

不定積分的本質是一個函數簇。

定積分[編輯]

定積分的本質是一個極限。

重積分[編輯]

實際應用[編輯]

空間解析幾何[編輯]

向量代數[編輯]

無窮級數[編輯]

微分方程[編輯]

微分方程: 微分方程和求函數的導函數類似,

其他相關書籍[編輯]

線性代數-概率論與數理統計

高等數學/同濟大學數學系編.高等教育出版社 高等教育出版社