極限

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極限的概念[编辑]

數列的極限[编辑]

若數列 有上界L,且 ,則數列 的極限 ,意即若 ,則 M 的值不大於L

数列有界性的定义[编辑]

使得数列{}恒满足,则称数列{}有下界;若使得数列{}恒满足,则称数列{}有上界;若使得数列{}恒满足,则称数列{}有界。

数列极限的定义[编辑]

设{}是一组数列,为常数,且,若,当 时,下面不等式:

恒成立,则称数列{}的极限存在,并称常数为数列{}的极限,通常记作:

此时也称{}是一个收敛的数列。

性质[编辑]

唯一性[编辑]

若数列{}收敛,则{}的极限值是唯一的。

有界性[编辑]

若数列{}收敛,则{}是有界数列。

保序性[编辑]

若数列{}与{}都有极限。当时恒有,若,则必有

斯铎兹(Otto-Stolz)法则[编辑]

法则一[编辑]

,且数列{}单调递减。则当极限存在时,极限存在,且;当时,有

法则二[编辑]

,数列{}单调递增,则当极限存在时,极限存在,且;当时,有

函數的極限[编辑]

一個函數,若當時,,意即當上越來越趨近時,的值越來越趨近,一般記做

函数极限的定义[编辑]

自变量趋于常数的极限[编辑]

设函数的某个去心邻域内有定义。若,总有使得当满足时,必有:

则称函数趋于常数的极限是,通常记作:

自变量趋于无穷的极限[编辑]

1. 对于函数,若,总,当时必然满足:

则称函数趋于正无穷大的极限是,通常记作:

2. 对于函数,若,总,当时必然满足:

则称函数趋于负无穷大的极限是,通常记作:

3. 对于函数,若,总,当时必然满足:

则称函数趋于无穷大的极限是,通常记作:

性质[编辑]

唯一性[编辑]

若函数存在极限,则极限值唯一。

局部保序性[编辑]

1. 设,若,当时,都有,则

2. 设,若,当时,都有,则

3. 设,若,当时, 都有,则

保号性(也称正负不变性)[编辑]

,则在的某个去心邻域内存在一个区间满足当时,的值的正负性与保持一致。

海涅(Heine–Cantor)定理[编辑]

设函数的某个去心邻域内有定义,则:

其中数列{}是的某个去心邻域内任意一个收敛于的数列,且

罗比达法则 (l'Hôpital's rule)[编辑]

若函数 的一个去心邻域内可导且 的值同时等于0或同时趋于无穷,并且 存在或趋于无穷,则:

几个常用的极限[编辑]

1. 设函数其中,则有

2. 设数列{}恒满足,则有,其中是自然对数的底数,

3. 设函数其中,则有

4. 设函数其中,则有

无穷的阶[编辑]

无穷大与无穷小的概念[编辑]

1. 无穷小:通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。
2. 无穷大:若函数(或)时,的值无穷增大,则称函数(或)时为无穷大。通常记作:

(或者)。

高阶、低阶与同阶[编辑]

为了方便下面的讨论,现在将(其中),用符号来统一表示。

无穷小的高阶、低阶与同阶[编辑]

1.高阶无穷小:若在极限附近处满足),当时,称的高阶无穷小。通常记作:

或者

2.低阶无穷小:若在极限附近处满足),当时,称的低阶无穷小。

3.同阶无穷小:若在极限附近处满足),当(其中)时,称的同阶无穷小。

4.阶数:若在极限附近处满足),当(其中)时,称阶无穷小,是无穷小的阶数。

无穷大的高阶、低阶与同阶[编辑]

1.高阶无穷大:若在极限附近处必须满足),当时,称的高阶无穷大。

2.低阶无穷大:若在极限附近处必须满足),当时,称的低阶无穷大。

3.同阶无穷大:若在极限附近处必须满足),当(其中)时,称的同阶无穷大。

4.阶数:若在极限附近处必须满足),当(其中)时,称阶无穷大,是无穷大的阶数。

等价无穷[编辑]

等价无穷大[编辑]

在极限附近处必须满足),当时,称的等价无穷大。

等价无穷小[编辑]

在极限附近处必须满足),当时,称的等价无穷小。

極限與連續[编辑]

參見函數的連續性

習題[编辑]

  1. 设数列等于,问此数列的极限是否存在?
  2. 求以下数列的极限,(下式中是正整数)
?