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极限是指:某个函数中的一个变量,此变量在变大(或变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能重合到A”(永远不能等于A,但已经取得足够接近A的高精度计算结果)的过程。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”。
若數列
有上界L,且
,則數列
的極限
,意即若
,則 M 的值不大於L
若
使得数列{
}恒满足
,则称数列{
}有下界;若
使得数列{
}恒满足
,则称数列{
}有上界;若
且
使得数列{
}恒满足
,则称数列{
}有界。
设{
}是一组数列,
为常数,且
,若
,当
时,下面不等式:

恒成立,则称数列{
}的极限存在,并称常数
为数列{
}的极限,通常记作:

此时也称{
}是一个收敛的数列。
若数列{
}收敛,则{
}的极限值是唯一的。
若数列{
}收敛,则{
}是有界数列。
若数列{
}与{
}都有极限。当
时恒有
,若
且
,则必有
。
设
,
,且数列{
}单调递减。则当极限
存在时,极限
存在,且
;当
时,有
。
设
,数列{
}单调递增,则当极限
存在时,极限
存在,且
;当
时,有
。
一個函數
,若當
時,
,意即當
在
上越來越趨近
時,
的值越來越趨近
,一般記做
设函数
在
的某个去心邻域
内有定义。若
,总有
,
使得当
满足
时,必有:

则称函数
趋于常数
的极限是
,通常记作:

1. 对于函数
,若
且
,总
,当
时必然满足:

则称函数
趋于正无穷大的极限是
,通常记作:

2. 对于函数
,若
且
,总
,当
时必然满足:

则称函数
趋于负无穷大的极限是
,通常记作:

3. 对于函数
,若
且
,总
,当
时必然满足:

则称函数
趋于无穷大的极限是
,通常记作:

若函数
存在极限,则极限值唯一。
1. 设
,
,若
,当
时,都有
,则
。
2. 设
,
,若
,当
时,都有
,则
。
3. 设
,
,若
,当
时, 都有
,则
。
若
且
,则在
的某个去心邻域
内存在一个区间
满足当
时,
的值的正负性与
保持一致。
设函数
在
的某个去心邻域
内有定义,则:

其中数列{
}是
的某个去心邻域
内任意一个收敛于
的数列,且
。
若函数
与
在
的一个去心邻域内可导且
,
与
的值同时等于0或同时趋于无穷,并且
存在或趋于无穷,则:

1. 设函数
其中
,则有
。
2. 设数列{
}恒满足
,则有
,其中
是自然对数的底数,
。
3. 设函数
其中
,则有
。
4. 设函数
其中
,则有
。
1. 无穷小:通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。
2. 无穷大:若函数
在
(或
)时,
的值无穷增大,则称函数
在
(或
)时为无穷大。通常记作:
(或者
)。
为了方便下面的讨论,现在将
与
(其中
),用符号
来统一表示。
1.高阶无穷小:若
且
(
在极限附近处满足
),当
时,称
是
的高阶无穷小。通常记作:
(
或者
)
2.低阶无穷小:若
且
(
在极限附近处满足
),当
时,称
是
的低阶无穷小。
3.同阶无穷小:若
且
(
在极限附近处满足
),当
(其中
)时,称
是
的同阶无穷小。
4.阶数:若
且
(
在极限附近处满足
),当
(其中
)时,称
是
的
阶无穷小,
是无穷小的阶数。
1.高阶无穷大:若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
时,称
是
的高阶无穷大。
2.低阶无穷大:若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
时,称
是
的低阶无穷大。
3.同阶无穷大:若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
(其中
)时,称
是
的同阶无穷大。
4.阶数:若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
(其中
)时,称
是
的
阶无穷大,
是无穷大的阶数。
若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
时,称
是
的等价无穷大。
若
且
(
在极限附近处必须满足
),当
时,称
是
的等价无穷小。
參見函數的連續性
- 设数列
等于
,问此数列的极限是否存在?
- 求以下数列的极限,(下式中
是正整数)
?