Mathematica/簡單的運算

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算術

Mathematica最簡單的用法就是像計算器一樣輸入您的算式，然後按Shift+Enter。比如說我們在上一章里已經進行過的計算：

 In[1]:=	2 + 2
Out[1]=	4

和別的計算機語言一樣，Mathematica分別用+、-、*、/、^來表示加、減、乘、除、冪，用圓括號(和)來控制運算順序。此外，乘法也可以用空格表示：

 In[2]:=	2 3 + 2 (1 + 2)
Out[2]=	12

在Mathematica中，數的大小和精度是不受限制的，比如說我們可以計算100的階乘：

 In[3]:=	100!
Out[3]=	9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859296389521759\
	9993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000\
	000000000000000000

Mathematica把不帶小數點的數都當成精確值。一般情況下，當您輸入的數字都是精確值時，輸出也將是精確值：

 In[4]:=	1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1))))
Out[4]=	138  

只要輸入的數當中有一個帶有小數點，比如說，把「1」改成「1.」，Mathematica就會把它當成近似值，這樣輸出的也將是近似值：

 In[5]:=	1. + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1))))
Out[5]=	1.625

使用函數

當我們要進行複雜一點的計算時，就要用到數學函數了。與我們平時寫數學公式的習慣不同，Mathematica中函數的自變量都括在方括號中，這樣是為了與控制運算順序的圓括號相區別。比如說計算4的算術平方根，就要用到表示平方根的函數Sqrt：

 In[6]:=	Sqrt[4]
Out[6]=	2

同樣，我們也能計算2的算術平方根：

 In[7]:=	Sqrt[2]
Out[7]=	√2

這看起來有些奇怪，它好像什麼都沒算。事實上，我們前面已經說過，當您輸入的數字都是精確值時，輸出也將是精確值。根號2的精確值自然就是${\sqrt {2}}$，而不是1.414。

Mathematica中大小寫是嚴格區分的，Mathematica內建的函數首字母都是大寫。除了一些一些常見的數學常數在Mathematica也用首字母是大寫的符號來表示，如Pi表示圓周率、E表示自然對數的底、I表示虛數單位。這都和我們平常寫數學公式的習慣不同。

 In[8]:=	Exp[Pi I]
Out[8]=	-1

這就是著名的歐拉恆等式，用平常的數學公式寫出來就是$e^{\pi i}=-1$。

下表列出了一些常用的數學函數：

Sqrt[x]	平方根（${\sqrt {x}}$）
Exp[x]	指數函數（$e^{x}$）
Log[x]	自然對數（$\ln(x)$；注意Mathematica中Log表示的是以e為底的對數）
Log[b,x]	以b為底的對數（$\log _{b}(x)$）
Sin[x],Cos[x],Tan[x]	三角函數（$\sin(x),\cos(x),\tan(x)$；注意Mathematica中角的單位都是弧度）
ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x]	反三角函數（$\sin ^{-1}(x),\cos ^{-1}(x),\tan ^{-1}(x)$）
Abs[x]	絕對值（$\left|x\right|$）
Round[x]	取離x最近的整數（注意這個函數即使輸入的是近似值輸出也將是精確值）

Mathematica內建的數學函數非常豐富，涉及到數學的各個不同領域。最新版本的Mathematica中數學函數的全表可以參見Mathematica幫助中的Mathematical Functions。

代數運算

Mathematica是一個計算機代數系統，它的強項就是代數運算。 比如說，您可以（在沒有給a賦值的情況下）輸入a+a。在一般的計算機語言中，這樣輸入可能會導致錯誤，因為您沒有告訴計算機a是多少。但是，只要學過一點初等代數，我們不需要知道a的值也能知道a+a等於2a。在Mathematica中也是如此：

 In[9]:=	a + a
Out[9]=	2 a

Mathematica中變量的符號不僅可以是英文字母，還可以是希臘字母，甚至別的符號，或者符號的組合：

 In[10]:=	喵 + αβα + 喵
Out[10]=	2 喵 + αβα

複雜一點的代數運算就要用到與代數運算相關的Mathematica函數了。比如說，因式分解：

 In[11]:=	Factor[a^12 - b^12]
Out[11]=	(a - b) (a + b) (a2 + b2) (a2 - a b + b2) (a2 + a b + b2) (a4 - a2 b2 + b4)

與代數運算有關一個很有用的Mathematica函數是Simplify。事實上，Mathematica很懶，一般的式子它不會自動幫您化簡，只會做一下調整順序、合併同類項之類的工作。例如：

 In[12]:=	Sin[x]^2 + Cos[x]^2
Out[12]=	Cos[x]2 + Sin[x]2

而Simplify則能夠幫我們化簡這些式子：

 In[13]:=	Simplify[Sin[x]^2 + Cos[x]^2]
Out[13]=	1

Simplify有時不能把式子化到最簡。Mathematica提供了另一個函數FullSimplify，它化簡式子時運用的變換規則比Simplify更多，化簡能力比Simplify更強，但花的時間比Simplify要長。

輸出近似值

前面說過，當您輸入的數字都是精確值時，輸出也將是精確的。如果我們希望Mathematica輸出的結果是近似值，可以在輸入的末尾加上//N：

 In[14]:=	Sqrt[2] // N
Out[14]=	1.41421

「//N」這種奇怪的寫法其實是使用N這個函數時的另一種寫法，Sqrt[2]//N就相當於N[Sqrt[2]]:

 In[15]:=	N[Sqrt[2]]
Out[15]=	1.41421

N是表示數值（也就是近似值）的函數。N[expr]表示表示expr的近似值，N[expr, n]表示expr的有n位精度的近似值。比如說，求圓周率的前100位：

 In[16]:=	N[Pi, 100]
Out[16]=	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781\
	6406286208998628034825342117068

Mathematica輸出的近似值的精度不受限制。

Mathematica虛擬全書中的相關內容

• Your First Mathematica Calculations
• Arithmetic
• Some Mathematical Functions
• Getting Used to Mathematica
• Arbitrary-Precision Calculations