微分几何/参数曲线

在真正开始研究曲线前，我们必须先对曲线做好定义。

就一般人以抽象的概念来看，曲线应该是在空间中的一种一维连续物件。而为了很方便的展现此种一维以及连续性质，我们很自然的就用参数式来描述曲线。而在微分几何的范围里，我们理所当然的会要求可微性（我们说一个实数函数可微，指此函数在任意点接存在任意阶导数）。因此我们有以下的定义：

定义：可微参数曲线是一个可微函数 ${\boldsymbol {\alpha }}:I\mapsto \mathbb {R} ^{3}$ ，其中 $I=(a,b)\subseteq \mathbb {R}$ 为一开区间。

上述函数的可微性是指，当我们写成笛卡尔座标 ${\boldsymbol {\alpha }}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 时，$x(t)$ 、 $y(t)$ 及 $z(t)$ 皆为可微实数函数。当中的 $t\in I$ 称为曲线的参数，而开区间 $I$ 的上下界可以是 $\pm \infty$。