重力与轨道

公式与原理

m1和m2互相吸引

万有引力公式

$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$

• G是万有引力常数
• m1是物体1的质量
• m2是物体2的质量
• r是两个物体之间的距离

圆周运动公式 $a=\frac{v^2}{r}$

定义

1. $v=\frac{r_2-r_1}{\mathrm{\Delta }t}$ 速度=第二点的位置向量减第一点的位置向量/经过时间
2. $a=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}$ 加速度=第二点的速度减掉第一点的速度/经过时间
3. $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 向量加法
4. $\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ 向量减法

方向

左图一 右图二

• 由图一，$v_1$必与$r_1$垂直，且是$r_1$顺时钟旋转90度
• 由图二，$a_1$必与$v_1$垂直，且是$v_1$顺时钟旋转90度
• 所以，$a_1$必与$r_1$平行，且是$r_1$顺时钟180度

大小

• $a=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$，必须与$r_1$平行且是$r_1$顺时钟转180度
• $v=\frac{r_2-r_1}{\Delta t}=\frac{\Delta r}{\Delta t}$
• 求出 $a=\frac{v^2}{r}$

证明：

1. 右方与左方三角形相似 $\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta r}{r}$ =>
2. 两边分母同乘 $\Delta t\frac{\Delta v}{v\ast \Delta t}=\frac{\Delta r}{r\ast \Delta t}$ =>
3. $\frac{1}{v}\ast \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{1}{r}\ast \frac{\Delta r}{\Delta t}$ =>
4. $\frac{1}{v}\ast a=\frac{1}{r}\ast v$ =>
5. $a=\frac{v^2}{r}$

PhET游戏介绍

PhET载点

• 游戏名称:地球科学/重力与轨道
• 可移动太阳、地球、月亮，观察移动后会怎么影响轨道
• 游戏目标
  1. 描述太阳、地球、月亮、太空站的关系，包含轨道、距离及各自的位置
  2. 解释万有引力如何影响太阳系的移动

卡通图(未按原比例图)

• 轨道选项:
  1. 太阳、地球
  2. 太阳、地球、月亮
  3. 地球、月亮
  4. 地球、太空站
• 显示选项:
  1. 重力
  2. 速度
  3. 路径
  4. 格子
• 操作:
  1. 选好自己要的轨道
  2. 选好要显示的东西
  3. 按下方蓝色开始键

勾选重力及速度，开始后就会标示出$M1$的重力及切线速度、$M2$的重力及切线速度，再勾选路径，就会画出$M2$绕着$M1$的轨道。

此时若我们移动$M1$，就会发现$M2$的轨道会有改变，若$M1$靠近$M2$，$M2$的$v$缩小，不是圆周运动了，慢慢$M2$就会撞向$M1$。

若我们移动$M1$远离$M2$，$M2$的$v$变大，这时也不再是圆周运动，$M2$就会慢慢远离$M1$。