基礎數學

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教科書總是針對特定的讀者的，而並非越艱深、越詳盡就越好，本書假定讀者沒有任何數學基礎，介紹一些數學的基礎知識及簡單的應用，針對的讀者主要是自學的成人和有家長指導的兒童，所以我們使用的語言將適當貼近但不限於兒童能夠理解的範圍。關於本書的格式，請參考格式指南。

自然數

自然數是表示數量的數。如1,2,3……自然數包括所有非負整數。自然數有無數個,自然數不包括0.

質數與合數

質數也叫素数，就是除本身和1以外沒有其他任何因數。合數就是除本身和1以外有至少還有1個因數。 0是加法基本元素，1是乘法基本元素，既不是質數也不是合數。

分數

參見：初中數學/算則觀念/分數

認識分數

導言

表述一個數的一部分要用到分數。我們平時說話，會用到「半」這個字，比如：小紅剛剛吃了「半」個蘋果，小明喝了「半」杯水，6個月是「半」年，30分鐘是「半」小時。如果我們仔細再讀一讀這幾句話，就會發現，這些「半」的後面都跟了一個「整」的東西，對於小紅來說，這個「整」的東西就是一個蘋果，對於小明，這個「整」的東西就是一杯水，在第3和第4個例子中，這個整的東西分別是一年和一小時。以上幾個例子中，我們都是把那個「整」的東西平均分成2份，其中的1份叫做它的一半，這個「半」在數學裡用 ${\frac {1}{2}}$ 表示，讀作「二分之一」。

正文

跟上面的例子類似，如果我們把一個「整」的東西平均分成3份，其中的1份就叫作它的「三分之一」，寫作 ${\frac {1}{3}}$ 。如果我們把一個「整」的東西平均分成4份，其中的一份就叫作它的「四分之一」，寫作 ${\frac {1}{4}}$ 。我們還是看幾個具體的例子吧。

像上圖那樣，把一個圓平均分成3份，每一份就叫這個圓的「三分之一」。

習題

小明有1個蘋果，他把蘋果切開平均分給5個人，每個人獲得一個蘋果的多少？

分數的基本性質

數的分子和分母同時乘或者除以相同的數或分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數「0除外」分數的大小不變。

分數的加減法

分母相同，分子不同的兩個分數相加：分母不動，分子相加，得出結果。分母不同的兩個分數先通分，再計算

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}

，

{\frac {3}{2}}-{\frac {3}{4}}={\frac {6-3}{4}}={\frac {3}{4}}

分數的乘除法

任意兩個分數相乘，分子和分子相乘，分母和分母相乘，再化簡得出結果。

任意兩個分數相除，將作為除數的分數變為其倒數（即分子、分母顛倒），將除號變為乘號，做乘法，得出結果。

{\frac {4}{3}}\times {\frac {27}{11}}={\frac {4}{1}}\times {\frac {9}{11}}={\frac {36}{11}}

分數的四則運算

{\frac {4}{3}}\times {\frac {27}{11}}-1={\frac {4}{1}}\times {\frac {9}{11}}-1={\frac {36}{11}}-{\frac {11}{11}}={\frac {36-11}{11}}={\frac {25}{11}}

幾何

平面圖形

導言

你會畫畫嗎？也許你會說：「會！爸爸媽媽都誇我畫得好！」那麼，你都會畫什麼呢？你也許又說：「房子，西瓜，花，書，山……我都會！」但是，你知道你畫的這些東西都是由什麼構成的嗎？如果你還不是特別清楚，那麼就接著往下看吧！

我們來看一個關於平面圖形的例子吧：找來一個茶葉筒和一盒餅乾，把它們放在紙上，再用鉛筆把底部描在紙上，你看到了什麼？對啦！一些由鉛筆畫出的線條構成的圖形，這兩個圖形就被稱做平面圖形，因為這些線條都在一個平面——「一張紙」上，沒有飛到你的鼻子上或是鑽進地里。因此，我們說

平面圖形：所表示的各個部分都在同一平面內的圖形被稱為平面圖形。

這裡面說的「平面」你應該十分了解了吧！以後，我們說的「平面」都指的是「一張紙」或——更準確點——「電腦屏幕（因為你正在看的是屏幕而不是紙）」。

圖形的分類

別急著拿出你的蠟筆給剛才的圖形塗色！先觀察一下這些圖形吧。一個圓圓的，「沒棱沒角」；一個方方的，看著很規矩。（在這裡，我們假設你描得很好。周圍假如有一些出頭的地方就不用管了。）那個圓圓的圖形，我們把它叫做「圓形」，或者就叫「圓」。而那個方方的，我們要叫它「多邊形」。這是一個新名詞，你仔細想一下就可以大概理解：它由一些直的線條（我們叫「邊」）組成，而且它有好幾條「邊」，因此它才得名「多邊形」。要記住：「圓」的樣子和你所畫出的都一樣,只是大小不同；而「多邊形」就大不一樣了，你看到的只是其中一種，其他還有好多種呢！下面，我們來給出這兩個圖形的定義：

圓：由曲線構成的、看起來非常勻稱完美的平面圖形.

多邊形：由幾條直邊首尾相連構成的平面圖形.

既然多邊形有好多種，那你畫出的圖形應該有個更確切的名字。來為它起個名吧！首先，他方方的，那他應該叫「方形」；然後再看，他長長的，應該再加個「長」字，變成「長方形」。好！你的圖形有了他的名字：長方形。我們還有一種方式來叫他：「矩形」。起這個名字是因為他是看起來很規「矩」的圖「形」。以後，你就可以用這兩個新名字來稱呼他了！

另外，除了根據形狀的特點來起名，我們還可以根據「邊」的數量來命名。像長方形，我們也可以叫他「四邊形」。你大概能猜出來「四邊形」像「多邊形」一樣，不單單指長方形，還包括其他的圖形。同時，我們也可以根據「角」的數量命名，長方形此時應該叫「四角形」（當然啦，平時幾乎沒人這麼叫）。

線

導言

看一下你畫的正方形的一邊，是由什麼組成的？再看一下圓？

線構成多邊形，有直和曲的兩種。

在生活中，你可能看過雷射、高速公路以及尺子，它們在數學裡叫做什麼呢？你知道嗎？

正文

代數

用字母表示數

導言

我們先來看一首兒歌吧：

一隻青蛙一張嘴，兩隻眼睛四條腿，撲通撲通跳下水。

兩隻青蛙兩張嘴，四隻眼睛八條腿，撲通撲通跳下水。

三隻青蛙三張嘴，六隻眼睛十二條腿，撲通撲通跳下水。

四隻青蛙四張嘴，八隻眼睛十六條腿，撲通撲通跳下水。

……

如果我要想知道 $5$ 只青蛙有多少張嘴的話該怎麼辦呢？我們可以把這首兒歌接著說下去：

……

五隻青蛙五張嘴，十隻眼睛二十條腿，撲通撲通跳下水。

……

這樣就得到了我們想要的結果。但是，如果我想知道一百隻青蛙有多少張嘴，或者一群我們不知道數目青蛙的嘴有多少的時候，該怎麼辦呢？本節，我們將會告訴你一種更方便的方式。

正文

我們回到數青蛙的問題上。如果我們不使用數字，而是用字母來代替數字的話，會是怎樣的呢？或者說，用一句話來表示這首兒歌？

例題
	題目: 用一句話來表示剛才的這首兒歌
	解答: $?$ 隻青蛙 $?$ 張嘴，2×?隻眼睛4×?條腿，撲通撲通跳下水用代數表示： $n$ 只青蛙 $n$ 張嘴， $2n$ 隻眼睛 $4n$ 條腿，撲通撲通跳下水
	O

你可以看到，一首長到沒有邊兒的兒歌，就這樣用一句話「清爽」地概括了！這句話中的 $n$ 可以代替任何數（嚴格的講，這裡指自然數，也就是0和正整數），不管它是一隻、兩隻，亦或是4隻、8隻、19048330隻。而答案裡的 $2n$ 和 $4n$ 就分別代表了「2×n」和「4×n」，只是使用代數來表示的時候，我們一般習慣將×乘號省略掉。這說明，用字母表示數是一種非常有用的、有「普適性」的解決問題方式（「普適性」你可能不太理解，大概的意思是：「在許多地方都可以被用到」）。以後，這種方式將成為我們的解題好朋友，幫助我們省下不少的時間。

習題

計算十隻青蛙有幾條腿（要求：先用你學到的新方法表示，再計算出數量）。

答案：十隻青蛙有40條腿( $4n$ )。

方程

正文

現在，你已經懂得怎樣用字母表示數了。那麼我們來看一道小題，檢驗你的學習成果。

例題
	題目: 小明有6個蘋果，吃掉三個，問：小明還有幾個蘋果？
	解答: ……
	O

你可能在笑了。哎呀！這題這麼簡單，我早就會啦！再說，這和用字母表示數有什麼關係呢？別急，讓我們來比較一下你的做法和新做法的區別：

你的方法：

例題
	題目: 小明有6個蘋果，吃掉三個，問：小明還有幾個蘋果？
	解答: $6-3=3$ (個)
	O

新做法：

例題
	題目: 小明有6個蘋果，吃掉三個，問：小明還有幾個蘋果？
	解答: 用英文字母表示小明現在的蘋果數量假設它有 $?$ 蘋果（用字母表示成 $x$ ），由題意得 $?=6-3$ （字母表示 $x=6-3$ ）， $6-3=3$ ，解得 $?=3$ （ $x=3$ ）
	O

再來一題試試

例題
	題目: 葡萄和蘋果共有36個，蘋果有11個，問：葡萄有幾個？
	解答: ……
	O

你的方法：

例題
	題目: 葡萄和蘋果共有36個，蘋果有11個，問：葡萄有幾個？
	解答: $36-11=25$ (個)
	O

新做法：

例題
	題目: 葡萄和蘋果共有36個，蘋果有11個，問：葡萄有幾個？
	解答: 用英文字母表示小明現在的蘋果數量假設它有 $?$ 葡萄（用字母表示成 $x$ ），由題意得 $?=36-11$ （字母表示 $x=36-11$ ）， $36-11=25$ ，解得 $?=25$ （ $x=25$ ）
	O

現在來看一下下面這道題：

例題
	題目: 小明在菜市場買了三個西瓜，兩串香蕉，西瓜8元，總共34元，問香蕉多少塊錢？
	解答: 假設香蕉單價 $x$ 元，由題意得 $38+2x=34$ 。
	O

像這道題，比較複雜，以後再學習。

習題

想一想，怎樣才能知道香蕉有多少元？

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