基礎數學/質數與合數

質數與合數

導言

你玩過積木嗎？你可能有很多三角形，有很多正方形，有很多長方形，然後就可以拼出一輛汽車、一個房子或者其它的什麼，而這些東西拆開來，也不過是三角形、正方形和長方形這三種。數字也有類似之處。如果我們只考慮加法，那麼1就像是最簡單的積木，所有其它的數都是由一些1拼起來（相加）的，加法就像只有正方形的積木。乘法要比加法複雜一些，有些數是其它的數相乘得到的，有些不是，我們在這一章就要討論複雜的數是怎樣由簡單的數相乘得到的。

約數與倍數

導言

用積木搭汽車的時候，你可能先擺出一個車身，再擺出車輪，然後把他們組合到一起就成了一輛汽車，我們可以說車身和車輪都是汽車的一部分。在數字和乘法里也有類似的現象，這一小節我們就來學習它——約數與倍數。

正文

如果$A$除以$B$所得的餘數是$0$，即$A=B\times C$，我們就說$A$是$B$的倍數，$B$是$A$的約數，我們也說$B$能整除$A$，記作$B|A$。(當然因為乘法有交換律，我們同時也說A是C的倍數，C是A的約數。)例<：$6=2\times 3$，我們說6是2的倍數，2是6的約數。又如$18=6\times 3$，我們說18是6的倍數，6是18的約數。 一個數有很多倍數，也可能有很多約數。因為對於任何自然數$A$，總有$A=A\times 1$，所以$1$和$A$都是$A$的約數。

又因為一個數$A$的約數總是不會超過$A$，所以要找出一個數$A$的所有約數，只要考慮所有不超過$A$的數$B$，如果某個不超過$A$的數$B$能夠整除$A$，那麼$B$就是$A$的約數，否則就不是。例如要找出7的所有約數，我們只要逐一考查1,2,3,4,5,6,7是不是7的約數。$1\times 7=7$，所以1是7的約數。$7/2=3\cdots 1$，所以2不是7的約數。類似的可以知道3,4,5,6都不是7的約數，顯然7是7的約數，所以7隻有兩個約數，即1和7。那麼7的最大約數是7，最小倍數也是7。

要得到一個數的倍數，我們就用另一個自然數乘它，例如5的倍數有$5\times 1=5$, $5\times 2=10$, $5\times 3=15$, $5\times 4=20\cdots$

習題

質數與合成（合數）數

導言

前面討論的約數和倍數，如同討論積木中的車身與車的關係，這一節我們要把那些最基本的正方形、三角形的積木，和它們拼出來的圖案區分開，也就是說要考慮哪些數是由其它的數拼出來的（相乘得到的），哪些不是。

正文

對於任何自然數$A$，都有$A=1\times A$，所以$1$和$A$都是$A$的約數。我們希望把自然數分成兩類，一類是由其它的數相乘得到的，另一類是不能由其它的數得到的。也就是說考慮一個數$A$，除了$A=1\times A=A\times 1$以外還能不能寫成其它的兩個數的乘積。用我們上一小節的語言來說就是一個數除了$1$和$A$以外還有沒有其它的約數。因為$1$是個特殊的數，它只有$1$個約數，我們通常單獨考慮它。

質數：如果$A$是一個自然數，並且$A$的約數只有兩個，即$1$和$A$，那麼這個數稱為質數。

合數：如果$A$是一個自然數，並且$A$除了$1$和$A$以外還有其它約數，那麼這個數稱為合數。

$1$既不是質數，也不是合數。下面我們來看一個例子：

例題
	題目: $42$是質數還是合數?
	解答: $42=2\times 21$，所以除了$1$和$42$以外,$2$也是$42$的約數，因此$42$是合數。
	O

當然在上面的例子中，不僅$2$是42的約數，21也是。$42$被分解成$2$和$21$的乘積。$2$是質數，不能再分解，$21$是還是個合數，我們可以把它也分解開，注意到$21=3\times 7$，所以$42=2\times 3\times 7$，現在$2$, $3$, $7$都是質數，已經不能再分解了，這樣我們就把一個合數$42$分解為幾個質數（$2$, $3$, $7$）的乘積，這個過程叫做分解質因數。

分解質因數：把一個自然數分解成幾個質數的乘積的過程叫做分解質因數。

因為所有的合數都可以分解成質數的乘積，所以它們都是某個質數的倍數，要判斷一個數$A$是不是合數，只要檢驗每一個比$A$小的質數$B$，看$A$是不是$B$的倍數。如果$A$是$B$的倍數，那麼$A$是合數，如果所有小於$A$的$B$都不是$A$的倍數，說明$A$無法分解成比它小的質數的乘積，於是$A$是質數。

就像積木拼出來的圖形不論先拆哪一部分，最後拆完都是哪些基本的積木一樣，合數的分解與過程無關，最後得到的質因數都是一樣的。我們有下面的規律

把一個數分解質因數，所得到的質數除了順序可能不同以外，結果只與要分解的那個數有關，而與分解的過程無關。

為什麼說$1$既不是質數，也不是合數呢？ 如果我們說$1$是一個質數，那麼讓我們來看這樣一個例子：

例題
	題目: $2$是質數還是合數?
	解答: 因為我們剛才說$1$現在是一個質數，而且$2=2\times 1$， $2$分解為 $2$和 $1$兩個質數了，所以$2$是一個合數了。但是，$1=1\times 1$，所以$2$ 又可以分解為$2$, $1$, $1$三個質數。以此類推，$2$還可以分解為$2$, $1$, $1$，$1$四個質數，$2$, $1$, $1$，$1$，$1$五個質數……這樣可就破壞了我們剛剛說的規律了，$1$也就不是質數或合數。而$2$的約數由於只有$1$和它自己，也就成為一個質數了
	O

所以，我們為了不破壞上面的規律，只好說$1$既不是質數，又不是合數了。

習題

公約數與公倍數

導言

前面討論的都是某一個數的約數或倍數，這一小節我們要討論兩個數的共同約數和倍數。

正文

公約數、最大公約數：兩個數共同的約數稱為這兩個數的公約數。這些公約數中最大的那個稱為它們的最大公約數。

公倍數、最小公倍數：兩個數共同的倍數稱為這兩個數的公倍數。這些公倍數中最小的那個稱為它們的最小公倍數。

我們來看2個例子

例題
	題目: $12$和$18$的最大公約數是多少？
	解答: 12的約數有：1,2,3,4,6,12; 18的約數有：1,2,3,6,9,18.它們的公約數有1,2,3,6，其中最大的是6，即6是12和18的最大公約數
	O

例題
	題目: $12$和$18$的最小公倍數是多少？
	解答: 12的倍數從小到大依次有：12,24,36,48,60,72...; 18的倍數從小到大依次有：18,36,54,72...因此它們的公倍數從小到大依次是36,72...，其中最小的是36，即36是12和18的最小公倍數
	O

像上面的例子中那樣計算兩個數的最大公約數和最小公倍數需要列出兩者所有的公約數和最小的幾個公倍數，對於比較大的數字就不那麼方便了。下面我們學習兩種比較簡便的方法，來計算兩個數的最大公約數和最小公倍數。

習題

1. 想想看為什麼我們只定義最大公約數和最小公倍數，卻沒有定義兩個數的「最小公約數」和「最大公倍數」呢？

本章習題參考答案

1.任意兩自然數的所謂「最小公約數」皆為1；任意兩自然數的公倍數皆為其最小公倍數之倍數，無最大自然數，故無所謂「最大公倍數」.