基础数学/质数与合数

质数与合数

导言

你玩过积木吗？你可能有很多三角形，有很多正方形，有很多长方形，然后就可以拼出一辆汽车、一个房子或者其它的什么，而这些东西拆开来，也不过是三角形、正方形和长方形这三种。数字也有类似之处。如果我们只考虑加法，那么1就像是最简单的积木，所有其它的数都是由一些1拼起来（相加）的，加法就像只有正方形的积木。乘法要比加法复杂一些，有些数是其它的数相乘得到的，有些不是，我们在这一章就要讨论复杂的数是怎样由简单的数相乘得到的。

约数与倍数

导言

用积木搭汽车的时候，你可能先摆出一个车身，再摆出车轮，然后把他们组合到一起就成了一辆汽车，我们可以说车身和车轮都是汽车的一部分。在数字和乘法里也有类似的现象，这一小节我们就来学习它——约数与倍数。

正文

如果$A$除以$B$所得的余数是$0$，即$A=B\times C$，我们就说$A$是$B$的倍数，$B$是$A$的约数，我们也说$B$能整除$A$，记作$B|A$。(当然因为乘法有交换律，我们同时也说A是C的倍数，C是A的约数。)例<：$6=2\times 3$，我们说6是2的倍数，2是6的约数。又如$18=6\times 3$，我们说18是6的倍数，6是18的约数。 一个数有很多倍数，也可能有很多约数。因为对于任何自然数$A$，总有$A=A\times 1$，所以$1$和$A$都是$A$的约数。

又因为一个数$A$的约数总是不会超过$A$，所以要找出一个数$A$的所有约数，只要考虑所有不超过$A$的数$B$，如果某个不超过$A$的数$B$能够整除$A$，那么$B$就是$A$的约数，否则就不是。例如要找出7的所有约数，我们只要逐一考查1,2,3,4,5,6,7是不是7的约数。$1\times 7=7$，所以1是7的约数。$7/2=3\cdots 1$，所以2不是7的约数。类似的可以知道3,4,5,6都不是7的约数，显然7是7的约数，所以7只有两个约数，即1和7。那么7的最大约数是7，最小倍数也是7。

要得到一个数的倍数，我们就用另一个自然数乘它，例如5的倍数有$5\times 1=5$, $5\times 2=10$, $5\times 3=15$, $5\times 4=20\cdots$

习题

质数与合成（合數）数

导言

前面讨论的约数和倍数，如同讨论积木中的车身与车的关系，这一节我们要把那些最基本的正方形、三角形的积木，和它们拼出来的图案区分开，也就是说要考虑哪些数是由其它的数拼出来的（相乘得到的），哪些不是。

正文

对于任何自然数$A$，都有$A=1\times A$，所以$1$和$A$都是$A$的约数。我们希望把自然数分成两类，一类是由其它的数相乘得到的，另一类是不能由其它的数得到的。也就是说考虑一个数$A$，除了$A=1\times A=A\times 1$以外还能不能写成其它的两个数的乘积。用我们上一小节的语言来说就是一个数除了$1$和$A$以外还有没有其它的约数。因为$1$是个特殊的数，它只有$1$个约数，我们通常单独考虑它。

质数：如果$A$是一个自然数，并且$A$的约数只有两个，即$1$和$A$，那么这个数称为质数。

合数：如果$A$是一个自然数，并且$A$除了$1$和$A$以外还有其它约数，那么这个数称为合数。

$1$既不是质数，也不是合数。下面我们来看一个例子：

例题
	题目: $42$是质数还是合数?
	解答: $42=2\times 21$，所以除了$1$和$42$以外,$2$也是$42$的约数，因此$42$是合数。
	O

当然在上面的例子中，不仅$2$是42的约数，21也是。$42$被分解成$2$和$21$的乘积。$2$是质数，不能再分解，$21$是还是个合数，我们可以把它也分解开，注意到$21=3\times 7$，所以$42=2\times 3\times 7$，现在$2$, $3$, $7$都是质数，已经不能再分解了，这样我们就把一个合数$42$分解为几个质数（$2$, $3$, $7$）的乘积，这个过程叫做分解质因数。

分解质因数：把一个自然数分解成几个质数的乘积的过程叫做分解质因数。

因为所有的合数都可以分解成质数的乘积，所以它们都是某个质数的倍数，要判断一个数$A$是不是合数，只要检验每一个比$A$小的质数$B$，看$A$是不是$B$的倍数。如果$A$是$B$的倍数，那么$A$是合数，如果所有小于$A$的$B$都不是$A$的倍数，说明$A$无法分解成比它小的质数的乘积，于是$A$是质数。

就像积木拼出来的图形不论先拆哪一部分，最后拆完都是哪些基本的积木一样，合数的分解与过程无关，最后得到的质因数都是一样的。我们有下面的规律

把一个数分解质因数，所得到的质数除了顺序可能不同以外，结果只与要分解的那个数有关，而与分解的过程无关。

为什么说$1$既不是质数，也不是合数呢？ 如果我们说$1$是一个质数，那么让我们来看这样一个例子：

例题
	题目: $2$是质数还是合数?
	解答: 因为我们刚才说$1$现在是一个质数，而且$2=2\times 1$， $2$分解为 $2$和 $1$两个质数了，所以$2$是一个合数了。但是，$1=1\times 1$，所以$2$ 又可以分解为$2$, $1$, $1$三个质数。以此类推，$2$还可以分解为$2$, $1$, $1$，$1$四个质数，$2$, $1$, $1$，$1$，$1$五个质数……这样可就破坏了我们刚刚说的规律了，$1$也就不是质数或合数。而$2$的约数由于只有$1$和它自己，也就成为一个质数了
	O

所以，我们为了不破坏上面的规律，只好说$1$既不是质数，又不是合数了。

习题

公约数与公倍数

导言

前面讨论的都是某一个数的约数或倍数，这一小节我们要讨论两个数的共同约数和倍数。

正文

公约数、最大公约数：两个数共同的约数称为这两个数的公约数。这些公约数中最大的那个称为它们的最大公约数。

公倍数、最小公倍数：两个数共同的倍数称为这两个数的公倍数。这些公倍数中最小的那个称为它们的最小公倍数。

我们来看2个例子

例题
	题目: $12$和$18$的最大公约数是多少？
	解答: 12的约数有：1,2,3,4,6,12; 18的约数有：1,2,3,6,9,18.它们的公约数有1,2,3,6，其中最大的是6，即6是12和18的最大公约数
	O

例题
	题目: $12$和$18$的最小公倍数是多少？
	解答: 12的倍数从小到大依次有：12,24,36,48,60,72...; 18的倍数从小到大依次有：18,36,54,72...因此它们的公倍数从小到大依次是36,72...，其中最小的是36，即36是12和18的最小公倍数
	O

像上面的例子中那样计算两个数的最大公约数和最小公倍数需要列出两者所有的公约数和最小的几个公倍数，对于比较大的数字就不那么方便了。下面我们学习两种比较简便的方法，来计算两个数的最大公约数和最小公倍数。

习题

1. 想想看为什么我们只定义最大公约数和最小公倍数，却没有定义两个数的“最小公约数”和“最大公倍数”呢？

本章习题参考答案

1.任意两自然数的所谓“最小公约数”皆为1；任意两自然数的公倍数皆为其最小公倍数之倍数，无最大自然数，故无所谓“最大公倍数”.