微積分學/極限/簡介

極限是高等數學中第一個與「無限」直接有關的概念，也是數學分析中最基本的概念之一。初等數學中，我們處理的對象常常是有限的，或者說我們處理的方式常常是「有限的」方式，比如說以列舉的方法計算數量，或用有限的步驟進行邏輯推斷。數學歸納法是「無限」概念的體現之一，可以用有限的推理步驟，處理自然數等無限步驟的證明。數學中的極限概念也是如此。當需要處理無限多個元素的性質或某個變量在無限個過程後的性質時，數學家用極限來表示某個性質變化的最終趨勢。數學中極限的含義並不等於日常生活中的「極限」一詞。

直觀介紹

《莊子》曰：「一尺之捶，日取其半，萬世不竭。」假設有一尺長的線段，每天划去一半，那麼它的長度會變得如何呢？如果我們查看特定的某一天，比如說第7天，那麼線段的長度還剩$\frac{1}{128}$尺。但我們想知道的是，線段的長度「最終」會怎麼樣？用數學的語言來說，就是以下的數列：

$a_0=1,a_1=\frac{1}{2},a_2=\frac{1}{4},\cdots ,a_n=\frac{1}{2^n},\cdots$

在$n$「非常大」的時候會有什麼性質？為此我們可以建立以下的表格看看$n$「非常大」的時候，$a_n$會是什麼樣子：

$n$	$1$	$5$	$20$	$100$	$500$	$10000$
$a_n$	$0.5$	$0.03125$	$9.54\times 10^{-7}$	$1.27\times 10^{-30}$	$3.27\times 10^{-150}$	$2\times 10^{-3010}$

可以看出，$n$越大，$a_n$就越接近0；當$n$很大，比如說$n=10000$的時候，$a_n$與0的差別只有$2\times 10^{-3010}$了。這時候，我們就稱：數列$a_n$的極限是0，並記作：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0.$

它表示「只要$n$足夠大，$a_n$就會足夠接近0」這樣一個性質。《莊子》道出「日取其半」是一個無限的過程，而我們則給出了「日取其半」的最終趨勢。需要注意的是，0並不是「日取其半」的結果，也不是「日取其半」到某一天時會出現的情況：數列的極限值和數列本身不一定有相等的關係。

再來看另一個例子。設函數$f$為$f(x)=x^2$，我們來關注它在2附近的取值情況。下表顯示出當自變量$x$靠近$2$的時候，$f(x)$的值有何特性：

$x$	1.7	1.8	1.9	1.95	1.99	1.999
$f(x)=x^2$	2.89	3.24	3.61	3.8025	3.9601	3.996001

表中取的$x$值都是小於$2$的。也可以取大於$2$的$x$值，見下表：

$x$	2.3	2.2	2.1	2.05	2.01	2.001
$f(x)=x^2$	5.29	4.84	4.41	4.2025	4.0401	4.004001

從以上兩個表格中，可以看出，當$x$越來越靠近$2$的時候，不論是比$2$大還是比$2$小，$f(x)$的值都會越來越靠近$4$。我們把這個性質稱為：函數$f(x)$當$x$趨於2的時候的極限是$4$，並記作：

$\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4.$

可以注意到，如果把$x=2$代入函數中，得到的函數值$f(x)=4$，恰好是$x$趨於2的時候函數$f$極限的值。但要小心的是，這個相等關係並不適用於所有函數！

極限可以用來描述某個變化的趨勢，但不是所有的趨勢都可以用極限描述。以下是一個例子。設函數$g$為$g(x)=\sin \left(\frac{1}{x-2}\right)$，當自變量$x$靠近$2$的時候，$g(x)$的值變化如下表：

$x$	1.7	1.8	1.9	1.95	1.99	1.999
$g(x)=\sin \left(\frac{1}{x-2}\right)$	0.191	0.959	0.544	-0.913	0.506	-0.827

大於$2$的$x$的值靠近$2$時，$g(x)$的值變化如下表：

$x$	2.3	2.2	2.1	2.05	2.01	2.001
$g(x)=\sin \left(\frac{1}{x-2}\right)$	-0.191	-0.959	-0.544	0.913	-0.506	0.827

$x$的值靠近$2$時，$g(x)$的值並不接近任何一個特定的數值。這時候，我們稱函數在$g(x)$在$x$趨於$2$時沒有極限。

以上的例子中，我們引入了極限的概念，但使用的是模糊的語言。我們通過觀察一系列的數值，來得到「越來越接近」的結論，使用的是樸素的（不完全）歸納法，而不是嚴格的證明；同時我們也沒有嚴格定義何為「接近」：在比較兩個實數是否接近時這是很直觀的，但更多的時候我們需要判斷更為複雜的對象是否「接近」。