高中數學/函數與三角/弧度制與任意角的三角函數值

閱讀指南

在高中階段，我們將採用基於圓弧與半徑之比的弧度製作為新的平面角度記法，並將平面角度的取值範圍擴大到0°到360°以外。歷史上，這些規定都是由萊昂哈德·歐拉做的。弧度制被認為是一種更本質的平面角度的定義方式，三角學與天文學中的球面角也是採用這種基於半徑的方式定義空間角度的。而對於角度範圍的擴大，由於高中階段只需要了解三角學的基礎運算，它帶來的好處暫時看來可能不明顯。後面要等到至少學到物理學中的簡諧運動方程和微積分中的傅立葉級數展開，我們才會真正開始體會到這樣定義的三角函數帶來的威力。

基礎知識

任意角的基本概念

我們在小學和初中時已經接觸過角的概念，但是僅限於一周角（360°）的範圍內。但是細心觀察就會發現很多情況下角並不是僅僅旋轉一周。例如跳水運動員跳水時的轉體多少度的情況，很多都不是僅僅一周（例如轉體720°）。這時，我們就引進了任意角的概念。

角的概念示意圖。這是一個終邊位於第一象限中的角。

角可以看成平面內一條射線繞端點從一個位置旋轉到另一個位置時所成的圖形。

但是，角旋轉的方向並不是一樣的。為了區別旋轉不同方向的角，我們引入了正負角的概念。在原來角的概念里，向逆時針旋轉的角叫做正角，順時針旋轉的角叫做負角。若一個角沒做任何旋轉（就是旋轉了0°），則稱該角為零角。如右圖所示，為了更方便的表示角，我們把角放入平面直角坐標系中表示。若該角由射線AC旋轉到AB，那麼AC叫做該角的始邊，AB叫做該角的終邊。所有與角α終邊相同的角，連同角α，可以表示成集合$A=\left\{\beta |\beta =\alpha +360^{\circ }K,K\in N\right\}$。

在平面直角坐標系中研究角時，如果角的頂點與原點重合，角的終邊落在第幾象限，那麼就稱這個角為第幾象限角。如果這個角的終邊落在坐標軸上，那麼就稱這個角叫軸線角。例如右圖中的角就是第一象限角。

常見角度集合
終邊落在x軸非負半軸的角的集合	$\left\{\alpha |\alpha =360^{\circ }k,k\in N\right\}$
終邊落在y軸非負半軸的角的集合	$\left\{\alpha |\alpha =90^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
終邊落在x軸非正半軸的角的集合	$\left\{\alpha |\alpha =180^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
終邊落在y軸非正半軸的角的集合	$\left\{\alpha |\alpha =270^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第一象限角的集合	$\left\{\alpha |360^{\circ }k<\alpha <90^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第二象限角的集合	$\left\{\alpha |90^{\circ }+360^{\circ }k<\alpha <180^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第三象限角的集合	$\left\{\alpha |180^{\circ }+360^{\circ }k<\alpha <270^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第四象限角的集合	$\left\{270^{\circ }+360^{\circ }k<\alpha <360^{\circ }k,k\in N\right\}$

相關例題1：口答下列問題：
(1) 銳角是第幾象限角？第一象限角就一定是銳角嗎？再分別就直角和鈍角來回答這兩個問題。
(2) 今天是星期三，那麼7k（$k\in \mathbb {N} ^{+}$）天后的這一天是星期幾？7k（$k\in \mathbb {N} ^{+}$）天后的前一天是星期幾？100天後的那一天是星期幾？

相關例題2：已知角的頂點和直角坐標系的原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，作出下列各角，並指出是第幾象限角：
(1) 420°；(2) -75°；(3) 855°；(4) -510°。

弧度制的基本概念

度量長度我們可以用米、寸、英尺、碼等不同單位制度量，度量質量也可以用千克、斤、磅等單位制。不同的單位制能在不同的場合下帶來方便。那麼角的度量能否用不同的單位制呢？答案是肯定的：能！

這是一個大小為1弧度的角。圓A的半徑為A，弧BC的長度也等於1，∠BAC就是1弧度的角。

我們知道，角的大小可以用角度來表示。為了使對角的大小的定義更幾何化，數學上更常見的是使用弧度制描述角的大小。我們將長度等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度（radian）的角，用符號$rad$表示，讀作弧度。正角的弧度數為一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數為零。

一般地，如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那麼，角α的弧度的絕對值為$|\alpha |={\frac {l}{r}}$。

用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量數相同。用角度制和弧度制度量任意非零角，單位不同，量數也不同。因為周角的弧度數是2π，而在角度制下的度數是360°。所以：
$180^{\circ }=\pi \ rad\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}360^{\circ }=2\pi \ rad\\180^{\circ }=\pi \ rad\\1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}rad\end{cases}}$

反過來有：$1\ rad=\left({\frac {180}{\pi }}\right)^{\circ }\approx 57.30^{\circ }$。

一般地，我們只需根據以下關係就可以進行角度與弧度的轉換了：
$180^{\circ }=\pi \ rad\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\mbox{deg to rad}},&1^{\circ }={\frac {180}{\pi }}\ rad\approx 0.1745\ rad\\{\mbox{rad to deg}},&1\ rad=({\frac {180}{\pi }})^{\circ }\approx 57.30^{\circ }\end{cases}}$

換句話說：

• 將度數轉換為弧度：除以180，再乘以π，單位符號變為「rad」。
• 將弧度轉換為度數（剛好反過來）：除以π，再乘以180，單位符號變為「°」。

一些常用的特殊角度所對應的弧度列舉如下：

常用特殊角度數與弧度數對應表
角度制	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
弧度制	0	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$

任意角的三角函數值

圖1 基於三角形定義的三角函數示意圖

圖2 基於單位圓定義的三角函數示意圖

如圖1所示，設∠BAC的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊在第一象限，在角的終邊取一點B(a, b)，它與原點的距離$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}>0$，過B做x軸的垂線，垂足為C，則AC長度為a，BC長度為b。

根據初中學過的三角函數定義，我們有：
${\begin{cases}sin\angle BAC={\frac {BC}{AB}}={\frac {b}{r}}\\cos\angle BAC={\frac {AC}{AB}}={\frac {a}{r}}\\tan\angle BAC={\frac {BC}{AC}}={\frac {b}{a}}\end{cases}}$

由相似三角形的知識，對於確定的角，這3個比值不會隨B在角終邊的位置的改變而改變，因此我們可以將B的位置取在使線段AB的長$r=1$的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的坐標表示的銳角三角函數，如圖2所示。可以看到：
${\begin{cases}\sin \alpha ={\frac {BC}{AB}}={\frac {b}{1}}=b\\\cos \alpha ={\frac {AC}{AB}}={\frac {a}{1}}=a\\\tan \alpha ={\frac {BC}{AC}}={\frac {b}{a}}\end{cases}}$

在引進弧度制時我們可以看到，在半徑為單位長的圓中，角α的弧度數的絕對值等於圓心角α所對的弧長（符號由角α的終邊的旋轉方向決定）。在直角坐標系中，我們稱以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓（unit circle）。這樣，上述B點就是α的終邊與單位圓的交點。銳角三角函數可以用單位圓上的點的坐標表示。

同樣地，我們可以利用單位圓上的定義定義任意角的三角函數。

圖3 基於單位圓的任意角的三角函數示意圖

如圖3所示，設角α是一個任意角，它的終邊與單位圓交於點B(x, y)，那麼：

• y叫做角α的正弦（sine），記作sinα，即$\sin \alpha =y$
• x叫做角α的餘弦（cosine），記作cosα，即$\cos \alpha =x$
• ${\frac {y}{x}}$叫做角α的正切（tangent），記作tanα，即$tan\alpha ={\frac {y}{x}}\quad (x\neq 0)$

同角三角函數的基本關係

對於同一個角的正弦、餘弦與正切值，有以下固定關係：

同一個角的正弦、餘弦的平方和等於1，商等於該角的正切值。即：

• ${\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha$
• $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

其中第一個式子是由幾種三角函數所表示的邊角關係的直接推論；第2個式子是畢氏定理的推論，所以也叫做畢氏三角學恆等式（Pythagorean trigonometric identity）。

計算器和計算機求解

用計算器轉換角度與弧度

用計算器將角度轉換弧度的按鍵方法

我們演示用科學計算器將67°30′轉換成弧度，其按鍵次序如右圖所示。由計算器的輸出結果可知67°30′≈1.178 rad。

提示：不同計算器按鍵次序可能不同，請參照您所使用的計算器來進行使用。不帶科學計算功能的計算器可能沒有這個功能哦~

補充習題