高中数学/函数与三角/弧度制与任意角的三角函数值

阅读指南

在高中阶段，我们将采用基于圆弧与半径之比的弧度制作为新的平面角度记法，并将平面角度的取值范围扩大到0°到360°以外。历史上，这些规定都是由莱昂哈德·欧拉做的。弧度制被认为是一种更本质的平面角度的定义方式，三角学与天文学中的球面角也是采用这种基于半径的方式定义空间角度的。而对于角度范围的扩大，由于高中阶段只需要了解三角学的基础运算，它带来的好处暂时看来可能不明显。后面要等到至少学到物理学中的简谐运动方程和微积分中的傅里叶级数展开，我们才会真正开始体会到这样定义的三角函数带来的威力。

基础知识

任意角的基本概念

我们在小学和初中时已经接触过角的概念，但是仅限于一周角（360°）的范围内。但是细心观察就会发现很多情况下角并不是仅仅旋转一周。例如跳水运动员跳水时的转体多少度的情况，很多都不是仅仅一周（例如转体720°）。这时，我们就引进了任意角的概念。

角的概念示意图。这是一个终边位于第一象限中的角。

角可以看成平面内一条射线绕端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形。

但是，角旋转的方向并不是一样的。为了区别旋转不同方向的角，我们引入了正负角的概念。在原来角的概念里，向逆时针旋转的角叫做正角，顺时针旋转的角叫做负角。若一个角没做任何旋转（就是旋转了0°），则称该角为零角。如右图所示，为了更方便的表示角，我们把角放入平面直角坐标系中表示。若该角由射线AC旋转到AB，那么AC叫做该角的始边，AB叫做该角的终边。所有与角α终边相同的角，连同角α，可以表示成集合$A=\left\{\beta |\beta =\alpha +360^{\circ }K,K\in N\right\}$。

在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的终边落在第几象限，那么就称这个角为第几象限角。如果这个角的终边落在坐标轴上，那么就称这个角叫轴线角。例如右图中的角就是第一象限角。

常见角度集合
终边落在x轴非负半轴的角的集合	$\left\{\alpha |\alpha =360^{\circ }k,k\in N\right\}$
终边落在y轴非负半轴的角的集合	$\left\{\alpha |\alpha =90^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
终边落在x轴非正半轴的角的集合	$\left\{\alpha |\alpha =180^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
终边落在y轴非正半轴的角的集合	$\left\{\alpha |\alpha =270^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第一象限角的集合	$\left\{\alpha |360^{\circ }k<\alpha <90^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第二象限角的集合	$\left\{\alpha |90^{\circ }+360^{\circ }k<\alpha <180^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第三象限角的集合	$\left\{\alpha |180^{\circ }+360^{\circ }k<\alpha <270^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第四象限角的集合	$\left\{270^{\circ }+360^{\circ }k<\alpha <360^{\circ }k,k\in N\right\}$

相关例题1：口答下列问题：
(1) 锐角是第几象限角？第一象限角就一定是锐角吗？再分别就直角和钝角来回答这两个问题。
(2) 今天是星期三，那么7k（$k\in \mathbb {N} ^{+}$）天后的这一天是星期几？7k（$k\in \mathbb {N} ^{+}$）天后的前一天是星期几？100天后的那一天是星期几？

相关例题2：已知角的顶点和直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出是第几象限角：
(1) 420°；(2) -75°；(3) 855°；(4) -510°。

弧度制的基本概念

度量长度我们可以用米、寸、英尺、码等不同单位制度量，度量质量也可以用千克、斤、磅等单位制。不同的单位制能在不同的场合下带来方便。那么角的度量能否用不同的单位制呢？答案是肯定的：能！

这是一个大小为1弧度的角。圆A的半径为A，弧BC的长度也等于1，∠BAC就是1弧度的角。

我们知道，角的大小可以用角度来表示。为了使对角的大小的定义更几何化，数学上更常见的是使用弧度制描述角的大小。我们将长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，用符号$rad$表示，读作弧度。正角的弧度数为一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数为零。

一般地，如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度的绝对值为$|\alpha |={\frac {l}{r}}$。

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同。用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，量数也不同。因为周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360°。所以：
$180^{\circ }=\pi \ rad\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}360^{\circ }=2\pi \ rad\\180^{\circ }=\pi \ rad\\1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}rad\end{cases}}$

反过来有：$1\ rad=\left({\frac {180}{\pi }}\right)^{\circ }\approx 57.30^{\circ }$。

一般地，我们只需根据以下关系就可以进行角度与弧度的转换了：
$180^{\circ }=\pi \ rad\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\mbox{deg to rad}},&1^{\circ }={\frac {180}{\pi }}\ rad\approx 0.1745\ rad\\{\mbox{rad to deg}},&1\ rad=({\frac {180}{\pi }})^{\circ }\approx 57.30^{\circ }\end{cases}}$

换句话说：

• 将度数转换为弧度：除以180，再乘以π，单位符号变为“rad”。
• 将弧度转换为度数（刚好反过来）：除以π，再乘以180，单位符号变为“°”。

一些常用的特殊角度所对应的弧度列举如下：

常用特殊角度数与弧度数对应表
角度制	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
弧度制	0	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$

任意角的三角函数值

图1 基于三角形定义的三角函数示意图

图2 基于单位圆定义的三角函数示意图

如图1所示，设∠BAC的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在第一象限，在角的终边取一点B(a, b)，它与原点的距离$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}>0$，过B做x轴的垂线，垂足为C，则AC长度为a，BC长度为b。

根据初中学过的三角函数定义，我们有：
${\begin{cases}sin\angle BAC={\frac {BC}{AB}}={\frac {b}{r}}\\cos\angle BAC={\frac {AC}{AB}}={\frac {a}{r}}\\tan\angle BAC={\frac {BC}{AC}}={\frac {b}{a}}\end{cases}}$

由相似三角形的知识，对于确定的角，这3个比值不会随B在角终边的位置的改变而改变，因此我们可以将B的位置取在使线段AB的长$r=1$的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示的锐角三角函数，如图2所示。可以看到：
${\begin{cases}\sin \alpha ={\frac {BC}{AB}}={\frac {b}{1}}=b\\\cos \alpha ={\frac {AC}{AB}}={\frac {a}{1}}=a\\\tan \alpha ={\frac {BC}{AC}}={\frac {b}{a}}\end{cases}}$

在引进弧度制时我们可以看到，在半径为单位长的圆中，角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长（符号由角α的终边的旋转方向决定）。在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆（unit circle）。这样，上述B点就是α的终边与单位圆的交点。锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标表示。

同样地，我们可以利用单位圆上的定义定义任意角的三角函数。

图3 基于单位圆的任意角的三角函数示意图

如图3所示，设角α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点B(x, y)，那么：

• y叫做角α的正弦（sine），记作sinα，即$\sin \alpha =y$
• x叫做角α的余弦（cosine），记作cosα，即$\cos \alpha =x$
• ${\frac {y}{x}}$叫做角α的正切（tangent），记作tanα，即$tan\alpha ={\frac {y}{x}}\quad (x\neq 0)$

同角三角函数的基本关系

对于同一个角的正弦、余弦与正切值，有以下固定关系：

同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于该角的正切值。即：

• ${\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha$
• $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

其中第一个式子是由几种三角函数所表示的边角关系的直接推论；第2个式子是毕氏定理的推论，所以也叫做毕氏三角学恒等式（Pythagorean trigonometric identity）。

计算器和计算机求解

用计算器转换角度与弧度

用计算器将角度转换弧度的按键方法

我们演示用科学计算器将67°30′转换成弧度，其按键次序如右图所示。由计算器的输出结果可知67°30′≈1.178 rad。

提示：不同计算器按键次序可能不同，请参照您所使用的计算器来进行使用。不带科学计算功能的计算器可能没有这个功能哦~

补充习题