高中物理/力與運動/功與能

功

舉重是一個大運動量的體育項目，運動員在舉重時要消耗大量的能量。如果想要知道運動員在舉起槓鈴的過程中消耗的能量，該怎樣測量呢？

做功與能量的變化

閱讀下面三段話，回答所提出的問題。

1. 在舉起槓鈴的過程中，什麼力對槓鈴做功？能量怎樣變化
2. 人在滑梯上下滑時，什麼力對人做功？能量怎樣變化
3. 箭射出時，什麼力對箭做功？能量怎樣變化

如果說物體受到了力的作用，並在力的方向上發生了位移，我們就說力對物體做了功（work）。做功總是與能量的變化密切相關，做功的過程就是能量變化的過程。

功的計算公式

在初中我們已經學過，當力的方向與物體運動的方向一致時，力對物體做的功可用公式$W=Fx$計算。但許多情況下力的方向與物體的方向並不一致，而是存在一個夾角。在這種情況下，這個力做的功該怎樣計算呢？

當力F的方向與運動方向成某一角度時，可以把力$F$分解成兩個力：跟位移方向一致的分力$F\cos \alpha$；垂直於位移方向的分力$F\sin \alpha$。前一分力與位移方向一致，所做的功為$F_{x}=\cos \alpha$；後一分力與位移方向垂直，沒有對物體做功。因此恆力對物體所做的功W實際上就等於平行於物體位移方向的分力所做的功。

力對物體做的功等於力的大小、位移的大小、力和位移夾角的餘弦這三者的乘積，即

$W=Fx\cos \alpha$

在國際單位制中，功的單位是焦耳，簡稱焦，符號是J。1J等於1N的力使物體在力的方向上發生了1m的位移所做的功。

$1\mathrm {J} =1\mathrm {N} \times 1\mathrm {m} =1\mathrm {N\cdot m}$

功的正負 合力的功

由功的計算公式可知，力對物體做功可能會出現一下幾種情況：

• 當$0^{\circ }\leqslant \alpha <90^{\circ }$時，$\cos \alpha >0$,$W>0$，表示力對物體做正功；
• 當$\alpha =90^{\circ }$時，$\cos \alpha =0$，$W=0$，表示力對物體不做功，物體的重力和地面的支持力都與位移方向垂直，這兩個力都不做功；
• 當$90^{\circ }<\alpha \leqslant 180^{\circ }$時，$\cos \alpha <0$，表示力對物體做負功，也可以說物體克服這個力做功。

功率

人和起重機向同一艘船上搬運同樣數量的物品，做了相同的功，起重機所用的時間比人所用的時間少得多。這說明起重機比人做功快得多。用什麼物理量來描述物體（或機器）做功的快慢呢？

功率的含義

不同的物體做相同的功，所用的時間往往不同。做相同的功，用時少，表示做功快；用時多表示做功慢。在相同的時間內，有的物體做的功多，有的物體做的功少；也是由於做功快慢的不同。在物理學中，我們用功能P來表示做功的快慢。力對物體所做的功W與做功所用的時間t的比值叫做功率（power），即

$P={\frac {W}{t}}$

在國際單位制中，功率的單位是瓦特，簡稱瓦，符號為W。1s內完成1J的功，功率就是1W。1W=1J/s。瓦特這個單位比較小，技術上常用千瓦（kW）作功率的單位。1kW=1,000W。

功率、力與速度之間的關係

我們知道當力的方向與速度方向一致時$W=Fs$，而$P=W/t$，則$P=Fs/t=Fv$，即功率等於力乘以速度。

勢能

• 在經典力學中，主要研究機械能，機械能分為動能和勢能，勢能分為重力勢能和彈性勢能，動能和勢能可以互相轉化。

重力勢能

重力勢能是由於地球對物體的吸引而形成的，它是純量。需要注意的是，重力勢能是相對於零勢能面而言的，因此重力勢能具有相對性。通常以水平面為零勢能面。

計算公式：$E_{\mathrm {p} }=mgh$

彈性勢能

發生彈性形變的物體，因它內部各部分之間的相對位置發生變化而具有的能，叫做彈性勢能。

勁度係數為$k$的彈簧，當形變量為$x$是，其彈性勢能為$E_{\mathrm {p} }={\dfrac {1}{2}}kx^{2}$

特別地，我們可以發現重力做功和彈力做功與路徑無關，僅取決於起點和終點的位置。

動能

動能

動能是物體由於運動具有的能。物體的動能與物體的質量和速度都有關。

計算公式：$E_{\text{k}}={\dfrac {1}{2}}mv^{2}$

動能是純量，單位與功的單位相同，都是$\mathrm {J}$

合外力做功和物體動能的變化

力對物體做多少功，物體動能就增加多少；物體克服阻力做多少功，物體的動能就減少多少。

機械能守恆定理

只受到保守力作用，物體的動能及位能的總和不變 如：自由落體，豎直上拋、平拋、斜拋、單擺運動 自由落體運動：只要說明物體做自由落體運動，就知道了兩個已知量：$v_{0}=0$，$a=g$