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高中数学（版聊式）/第2节:集合间的关系与运算

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集合间的关系与运算

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集合间的关系
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包含：对两个集合A和B，如果对任意的x∈A，都有x∈B成立，那么称A包含于B（或B包含A），记做A⊆B，此时称A是B的子集。另外，在A⊆B的基础上，如果还存在x∈B，并且x∉A，那么称A是B的真子集，A真包含于B。

相等：对两个集合A和B，如果既有A⊆B，又有B⊆A，那么称A和B相等，记做A=B。

例如，设A={1,2,3} B={2,3}，则B⊆A，且是真包含。

集合间的包含关系满足以下三个性质：

  1. 自反性：对任意集合A，都有A⊆A成立。
  2. 反对称性：对于集合A和B，如果A⊆B，又有B⊆A，那么A=B。
  3. 传递性：对集合A、B、C。如果A⊆B，又有B⊆C，那么A⊆C。

我们只证明3：对任意的x∈A，由于A⊆B，有x∈B，又由于B⊆C，有x∈C，于是A⊆C。

另外，规定存在一个集合不包含任何元素，记做∅，读作空集。并且规定对任意集合A，∅⊆A。

集合的运算：
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（1）交集和并集：

定义：A∩B={x|x∈A并且x∈B}，称为A和B的交集，读作“A交B”。 A∪B={x|x∈A或者x∈B}，称为A和B的并集，读作“A并B”。 （注意，此处“或者”指可兼或，即即使既有p成立，又有q成立，那么“p或者q”依旧被视为真命题。）

例如：A={1,2,3} B={2,3,4}，那么A∩B={2,3}，A∪B={1,2,3,4}

交集和并集运算具有以下性质：

  1. A∩A=A A∪A=A
  2. A∩∅=∅ A∪∅=A
  3. A⊆B 当且仅当 A∩B=A 当且仅当 A∪B=B
  4. A∩B⊆A⊆A∪B,A∩B⊆B⊆A∪B
  5. 结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
  6. 分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

证明是容易的，我们只选择6的第一条证明，其余读者可自行补证。

证明：

对任意的x∈(A∪B)∩C，依定义，有x∈(A∪B)，并且x∈C。而x∈(A∪B)即为x∈A或者x∈B。若x∈A，由x∈C，有x∈(A∩C)。若x∈B，由x∈C，有x∈(B∩C)。即是说，x∈(A∩C)或者x∈(B∩C)，因此x∈(A∩C)∪(B∩C)。于是(A∪B)∩C⊆(A∩C)∪(B∩C)。 反之，对任意的x∈(A∩C)∪(B∩C)，则x∈(A∩C)或者x∈(B∩C)，若x∈(A∩C)，则x∈A并且x∈C，由④，A⊆A∪B，故x∈A∪B且x∈C，因此x∈(A∪B)∩C。同理对x∈(B∩C)的情况同样可证x∈(A∪B)∩C。于是(A∩C)∪(B∩C)⊆(A∪B)∩C。 依集合相等的定义，(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

注：读者可能觉得上述证明十分啰嗦，明明是“显然正确”的事实我们为什么要花这么多篇幅去证明它。这是为了让大家养成依靠“逻辑推导”而非“主观感觉”判断正误的习惯，而这正是数学与其他自然科学本质性的区别之一。

（2）集合的差和集合的补集

定义：A\B={x|x∈A并且x∉B}，读作“A差B”。

例如：A={1,2,3} B={2,3,4},则A\B={1}

注意：写A\B，并不意味着B是A的子集，差也不一定具有“数”的差的性质，在使用时务必注意这一点。

定义：有时我们指定我们全部的研究对象所在的集合为全集，通常用U表示。在给定了全集的基础上，A⊆U的补集定义为U\A，记做AC（补集的记号有很多种，故在书中出现时请查阅上下文，留心作者使用哪种记号）。

例如：U={1,2,3,4} A={2,3}，则AC={1,4}。

设全集为U，A、B、C均为U的子集，那么以下性质成立：

  1. A\B=A∩BC
  2. 德摩根律：(A∩B)C=AC∪BC，(A∪B)C=AC∩BC

证明留给读者完成。

集合间的映射
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在上一章我们介绍了集合。但是在许多问题中，仅仅有集合是不够用的。我们常常还需要一种“映射”的概念：两个集合A,B，A中的每个元素都对应B中的唯一一个元素。比如学号和人的对应，建筑物和街牌号的对应。要表示这种对应，一种方法是把对应的对象和本体都写出来，列成一个大表格。但有时候，比如这个对应：全体整数对应到它的两倍。要列出这个对应的每一组元素是不可能的，但是我只用一句话就表示出了这个对应。在数学里要表示这种对应，我们使用所谓“函数”的概念。

定义: 映射: 已知两个集合A,B,A到B的映射F是集合{(a,b)|a∈A,b∈B}的一个子集F, 满足:

(1)若(a,b)∈F,(a,c)∈F, 则b=c.

(2)任意a∈A, 存在b∈B使得(a,b)∈F.

定义: 单射: 如果一个A到B的映射F, 满足: (a,c)∈F, (b,c)∈F, 则a=b. 则称F是单射.

满射: 如果一个A到B的映射F, 满足: 任意b∈B, 存在a∈A使得(a,b)∈F, 则称F是满射.

映射通常还可以用字母f表示: 

              f: A→B
                 x→f(x)
表示(x,f(x))∈F, 其中f(x)是B中的元素.

此时A称为f的定义域, B称为f的值域.

习题
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1. 写出下列集合的并, 交 (1)A={1,2,3}, B={3,4,5} (2)A={x|x＜0}, B={x|x≥-1}

2. 写出{1,2,3,4}的全部子集

3.给出A={1,2},B={1,2,3}的全部映射

4.一下哪些是单射, 哪些是满射?

(1)f(x)=x^2, A,B=全体实数

(2)f: 全体实数→全体实数 

          x→2x

(3)f: (-1,1)→[0,1) 

          x→x^2
i的讨论
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在看完了上一节的讨论之后，如果你在阅读这一节的时候产生了以下问题，那就说明你理解得非常深了：集合的并，交，差为什么是集合？幸好有我们曾经 提到过的“替换公理”，它指出一个集合的子集（这里就使用子集这一个词不太合适，不过既然有了后面的结论了，这里就不斟酌新词了）是集合。所以交集 ，差集都是集合。至于并集，专门有一条公理，叫“并集公理”，保证两个集合的并集也是集合。对于有限多个并集的情况，用归纳法不难得到。对于无穷多 个集合的情况，那就比较麻烦了，这里也并不打算讨论。“无穷”是个危险的词，它常常是危险的陷阱，许多看起来很明显的事实，在无穷的情况却是不成立 的。比如……请看下节。

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