線性代數/線性變換

基本定義

$(V,\,\oplus ,\,\cdot )$ 是定義在體 $(F,\,+,\,\times )$ 上的線性空間，若函數 $f:V\to V$ 滿足

$(\forall v\in V)(\forall w\in V)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a\cdot v\oplus b\cdot w)=a\cdot f(v)\oplus b\cdot f(w)\,]$

稱函數 $f$ 是定義在 $V$ 的線性變換(Linear Transformation)或線性算子(linear operator)。

有時會定義

$L(V):=\{f\,|\,(f:V\to V)\wedge (\forall v\in V)(\forall w\in V)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a\cdot v\oplus b\cdot w)=a\cdot f(v)\oplus b\cdot f(w)\,]\}$

並以

$f\in L(V)$

來表示 $f$ 是定義在 $V$ 的線性變換。

我們可以把上面的定義稍作推廣

$(V,\,\oplus ,\,\cdot )$ 和 $(W,\,\odot ,\,\circ )$ 是定義在體 $(F,\,+,\,\times )$ 上的線性空間，若函數 $f:V\to W$ 滿足

$(\forall v\in V)(\forall w\in W)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a\cdot v\oplus b\cdot w)=a\circ f(v)\odot b\circ f(w)\,]$

稱函數 $f$ 是從 $V$ 映射到 $W$的 線性變換。