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孫子算經問曰:今有物,不知其數。三三數之,賸二;五五數之,賸三;七七數之,賸二。問:物幾何?
即:
![{\displaystyle x\equiv 2{\pmod {3}},\ x\equiv 3{\pmod {5}},\ x\equiv 2{\pmod {7}},\ x=?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7de990d9b6ebe423adff6c280e04cd6895ead4)
孫子算經答曰:二十三。
術曰:三三數之,賸二,置一百四十;五五數之,賸三,置六十三;七七數之,賸二,置三十。並之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。
凡三三數之,賸一,則置七十;五五數之,賸一,則置二十一;七七數之,賸一,則置十五。一百六以上,以一百五減之,即得。
(大衍求一术)
《算法統宗》曰:
- 三人同行七十稀
- 五樹梅花廿一枝
- 七子團圓正月半
- 除百零五便得知
即:
![{\displaystyle x=2\times 70+3\times 21+2\times 15=233\equiv 23{\pmod {105}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc49e1ae20ce9b84653c41161bb1180c73e222b7)
设:
为两两互素的一组整数,则关于
的方程组:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x\equiv a_{1}{\pmod {m_{1}}}\\x\equiv a_{2}{\pmod {m_{2}}}\\\vdots \qquad \qquad \qquad \\x\equiv a_{n}{\pmod {m_{n}}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831a30924dce2ee76bfb7d52c7ee0e795d666b5b)
有唯一解。