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孙子算经问曰:今有物,不知其数。三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二。问:物几何?
即:
![{\displaystyle x\equiv 2{\pmod {3}},\ x\equiv 3{\pmod {5}},\ x\equiv 2{\pmod {7}},\ x=?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7de990d9b6ebe423adff6c280e04cd6895ead4)
孙子算经答曰:二十三。
术曰:三三数之,剩二,置一百四十;五五数之,剩三,置六十三;七七数之,剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。
凡三三数之,剩一,则置七十;五五数之,剩一,则置二十一;七七数之,剩一,则置十五。一百六以上,以一百五减之,即得。
(大衍求一术)
《算法统宗》曰:
- 三人同行七十稀
- 五树梅花廿一枝
- 七子团圆正月半
- 除百零五便得知
即:
![{\displaystyle x=2\times 70+3\times 21+2\times 15=233\equiv 23{\pmod {105}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc49e1ae20ce9b84653c41161bb1180c73e222b7)
设:
为两两互素的一组整数,则关于
的方程组:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x\equiv a_{1}{\pmod {m_{1}}}\\x\equiv a_{2}{\pmod {m_{2}}}\\\vdots \qquad \qquad \qquad \\x\equiv a_{n}{\pmod {m_{n}}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831a30924dce2ee76bfb7d52c7ee0e795d666b5b)
有唯一解。