代數/本書課文/求和/組合數求和

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利用組合數的性質可以構造出求和公式。

二項式定理[编辑]

Example
例子:

朱世杰恒等式[编辑]

证明朱世杰恒等式

在方冪和上的應用[编辑]

把多項式轉化為組合數,再用朱世杰恒等式求和。[1]

例子:


求多項式的和[编辑]

將多項式轉化為組合數的過程一般化,對一個多項式求和有如下公式:

证明:[2][3][4]

為m階多項式,待定成組合數:

代入,得到:

帕斯卡矩陣的逆等於自身交錯地加上負號,於是可直接求出待定系數:


乘出來的結果也剛好是多項式各階差分在點1的值。

证明:[5]

Example
例子:

(等差數列求和)

范德蒙恒等式[编辑]

证明范德蒙恒等式

甲班有a個同學,乙班有b個同學,從兩個班中選出n名有種方法。
從甲班選k名,從乙班選n-k名有種方法,考慮所有情況k=0,1,...,n,從兩個班中選出n名有種方法。[6]

參考資料[编辑]

  1. 田达武. 朱世杰恒等式及其应用. 数学教学通讯. 2009, (36). 
  2. 陶家元. 高阶等差数列的前n项求和. 成都大学学报(自然科学版). 1999, (1). 
  3. 黄婷 车茂林 彭杰 张莉. 自然数幂和通项公式证明的新方法. 内江师范学院学报. 2011, (8). 
  4. 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7). 
  5. Károly Jordán. Calculus of Finite Differences (PDF). 1950. 
  6. 李松槐 杨伏香. 用数学模型证明范得蒙(Vandermonde)恒等式. 河南教育学院学报(自然科学版). 1999, (2).