利用组合数的性质可以构造出求和公式。
二项式定理[编辑]
例子:
朱世杰恒等式[编辑]
证明朱世杰恒等式
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在方幂和上的应用[编辑]
把多项式转化为组合数,再用朱世杰恒等式求和。[1]
例子:
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求多项式的和[编辑]
将多项式转化为组合数的过程一般化,对一个多项式求和有如下公式:
证明: [2][3][4]
为m阶多项式,待定成组合数:
代入,得到:
帕斯卡矩阵的逆等于自身交错地加上负号,于是可直接求出待定系数:
乘出来的结果也刚好是多项式各阶差分在点1的值。
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证明: [5]
设
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例子:
(等差数列求和)
范德蒙恒等式[编辑]
参考资料[编辑]