代数/本书课文/求和/组合数求和

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利用组合数的性质可以构造出求和公式。

二项式定理[编辑]

Example
Example
例子:

朱世杰恒等式[编辑]

证明朱世杰恒等式

在方幂和上的应用[编辑]

把多项式转化为组合数,再用朱世杰恒等式求和。[1]

例子:


求多项式的和[编辑]

将多项式转化为组合数的过程一般化,对一个多项式求和有如下公式:

证明:[2][3][4]

为m阶多项式,待定成组合数:

代入,得到:

帕斯卡矩阵的逆等于自身交错地加上负号,于是可直接求出待定系数:


乘出来的结果也刚好是多项式各阶差分在点1的值。

证明:[5]

Example
Example
例子:

(等差数列求和)

范德蒙恒等式[编辑]

证明范德蒙恒等式

甲班有a个同学,乙班有b个同学,从两个班中选出n名有种方法。
从甲班选k名,从乙班选n-k名有种方法,考虑所有情况k=0,1,...,n,从两个班中选出n名有种方法。[6]

参考资料[编辑]

  1. 田达武. 朱世杰恒等式及其应用. 数学教学通讯. 2009, (36). 
  2. 陶家元. 高阶等差数列的前n项求和. 成都大学学报(自然科学版). 1999, (1). 
  3. 黄婷 车茂林 彭杰 张莉. 自然数幂和通项公式证明的新方法. 内江师范学院学报. 2011, (8). 
  4. 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7). 
  5. Károly Jordán. Calculus of Finite Differences (PDF). 1950. 
  6. 李松槐 杨伏香. 用数学模型证明范得蒙(Vandermonde)恒等式. 河南教育学院学报(自然科学版). 1999, (2).