位移、速度與加速度

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概述[编辑]

位移-時間圖

三個質點從坐標原點以相同的速度出發,由於分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置和關於時間的曲線。原公式分別為:

  1. 綠線:s(t)=t2+t,加速度 a 與初速同方向,時間越往後,每單位時間所進行的位移越大。
  2. 藍線:s(t)=t,加速度 a 為 0 ,任可時間其每單位時間的位移皆不變,即速度皆不變。
  3. 紅線:s(t)=-0.13*t2+t,加速度 a 與初速相反方向,加速度會逐漸抵消掉初速,直到速度為 0 ,然後加速度會使質點的運動回頭,時間越往後回頭的速度越快,每單位時間「負向」位移越大。

藍線的幾何圖形是直線,綠線和紅線的幾何圖形是拋物線。綠線的最高次項係數為正值,所以右側向上;紅線的最高次項係數為負值,所以右側向下。

定義[编辑]

加入方向考慮之後,如何從一段運動軌跡得到加速度。
  1. 位移:物體位置的變化,包含零位移。
  2. 速度:物體在單位時間內的位移。即位移對時間的微分。速度包含大小和方向兩個元素。其中「大小」叫做「速率」。但速度與「位置」無關,等速運動中,不管位置在哪裡,其速度不變,都是同一個值,因為其大小和方向皆相同。
  3. 加速度:物體在單位時間內速度的變化。即速度對時間的微分。加速度也包含大小和方向兩個元素,也與位置無關。

右圖中綠線是運動的軌跡,藍線及箭頭(S1、S2、S3…)代表每單位時間位移的向量。由小圖中可以看到 v1=S1/Δt , v2=S2/Δt ,而加速度 a1=v2-v1/Δt 。

位移、速度與加速度是用來解釋微積分極好的工具,因為:

位移速度加速度之微積分關係.svg
  1. 三者在微積分上階層簡明:位移的微分得到速度,速度的微分得到加速度;而加速度的積分得到速度變化量,速度的積分得到位移。
  2. 三者用多項式就能表達。

圓周運動[编辑]

圖一:圓周運動切線速度與向心加速度示意圖

右圖紅色向量代表切線速度,不同瞬間,速率相等,速度不等(方向不同)。

藍色向量代表向心加速度,不同瞬間,加速度大小相等但方向不等。

注意,右圖中藍色向量的向心加速度標示過大,需要修改,真正的大小以圖二較為準確。

a,v,r 之間的大小關係

圖二:圓周運動 a,v,r 關係圖
  1. ,必須與平行且是順時鐘轉180度
  2. 求出

證明:

圖二中右方與左方三角形相似 =>
兩邊分母同乘 =>
=>
=>


圓周運動的動力過程

Circular motion 01.svg有一個速度向量使運動軌跡直線前進
Circular motion 02.svg加上與其垂直的加速度向量,因為加速度與原速度方向垂直,所以無法增加或抵消原速度的大小,只能改變其方向
Circular motion 03.svg加速度將軌跡拉彎
Circular motion 04.svg反覆上述的過程將得到一個圓周運動的軌跡

速度相加[编辑]

A 在月台,看 B 在列車上,站在 A 的觀點:列車及 B 以速度 u 對他進行等速相對運動; B 在車上射出一發子彈(或光束),此子彈(或光束)對 B 的相對速度為 v ,則此子彈(或光束)對 A 的相對速度為,此公式特性如下:

  1. 當 v 為 c 時,相加後的速度為 c 。也就是光束的速度不管從 A 或 B 的觀點來看都是 c 。
  2. 速度相加後永遠小於等於 c 。
  3. 當 u 、 v 都比 c 小很多時,相加後的速度趨近於 u+v 。

加速度與位移的關係[编辑]

復習乘法公式

證明:為常數,當位移-時間關係為時,速度為(此時稱為等加速度運動)

Displacement time diagram of acceleration.svg

代表不同時間物體的位置,和時間有以下關係:

  1. 稍早時間的位置為
  2. 稍晚時間的位置為
  3. 在經過很短時間的位置改變為

切線斜率、微分、導數[编辑]

,則函式點切線斜率、微分、導數、、()、 都代表同一個意思。

純量考量[编辑]

同理,在只考純量的情形下:
,則

位移、速度與加速度的階層關係[编辑]

f(x), x 軸上有 a,b 兩點對應的函數值為 f(a) 與 f(b) ,f'(a) ~ f'(b) 函式曲線與 x 軸所夾面積,恰為 f(a) 與 f(b) 值的差;f''(a) ~ f''(b) 函式曲線與 x 軸所夾面積,恰為 f'(a) 與 f'(b) 值的差。

此關係是直接來自微積分的基本定義,所以對所有的微積分函式都成立。

第一個練習:等速運動[编辑]

問題:等速運動,速度為2m/s,請作 1~10秒 的:

  1. 位移-時間圖、表
  2. 速度-時間圖、表
  3. 加速度-時間圖、表

答: 將x軸設為時間

  1. 位移-時間:位移y=2x
  2. 速度-時間:速度y=2
  3. 加速度-時間:加速度y=0

畫圖

  1. x,y每單位取 30 點,每一單位畫一刻度:
    • 原點距左上角:0,400
    • 0~11 切 11 段

第二個練習:初速度為0,等加速度[编辑]

問題:等加速度運動,初速度為 0 ,加速度為 0.2m/s2,請作 1~5秒 的:

  1. 位移-時間圖、表
  2. 速度-時間圖、表
  3. 加速度-時間圖、表

答: 將x軸設為時間

  1. 位移-時間:位移y=½(0.2)x2=0.1*x2
  2. 速度-時間:速度y=(0.2)x=0.2*x
  3. 加速度-時間:加速度y=0.2

畫圖

  1. x,y每單位取 100 點,每一單位畫一刻度:
  2. 原點距左上角:0,400
  3. 0~6 切 6 段

第三個練習:速度與加速度同向[编辑]

問題:等加速度運動,初速度為 1 ,加速度為 0.2m/s2,請作 1~5秒 的:

  1. 位移-時間圖、表
  2. 速度-時間圖、表
  3. 加速度-時間圖、表

答: 將x軸設為時間

  1. 位移-時間:位移y=½(0.2)x2+x=0.1*x2+x
  2. 速度-時間:速度y=(0.2)x+1=0.2*x+1
  3. 加速度-時間:加速度y=0.2

畫圖

  1. x,y每單位取 100 點,每 0.1 單位畫一刻度:
  2. 原點距左上角:0,400
  3. 0~6 切 6 段

第四個練習:速度與加速度反向[编辑]

問題:等加速度運動,初速度為 1 ,加速度為 -0.2m/s2,請作 1~10秒 的:

  1. 位移-時間圖、表
  2. 速度-時間圖、表
  3. 加速度-時間圖、表

答:將x軸設為時間

  1. 位移-時間:位移y=½(-0.2)x2+x=-0.1*x2+x
  2. 速度-時間:速度y=(-0.2)x+1=-0.2*x+1
  3. 加速度-時間:加速度y=-0.2

畫圖

  1. x,y每單位取 100 點,每 0.1 單位畫一刻度
  2. 原點距左上角:0,400
  3. 各點之x值:始於0,終於11,切11段

向量考量[编辑]