位移、速度与加速度

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概述[编辑]

位移-时间图
位移-时间图

三个质点从坐标原点以相同的速度出发,由于分别拥有正、零、负的加速度而导致其位置和关于时间的曲线。原公式分别为:

  1. 绿线:s(t)=t2+t,加速度 a 与初速同方向,时间越往后,每单位时间所进行的位移越大。
  2. 蓝线:s(t)=t,加速度 a 为 0 ,任可时间其每单位时间的位移皆不变,即速度皆不变。
  3. 红线:s(t)=-0.13*t2+t,加速度 a 与初速相反方向,加速度会逐渐抵消掉初速,直到速度为 0 ,然后加速度会使质点的运动回头,时间越往后回头的速度越快,每单位时间“负向”位移越大。

蓝线的几何图形是直线,绿线和红线的几何图形是抛物线。绿线的最高次项系数为正值,所以右侧向上;红线的最高次项系数为负值,所以右侧向下。

定义[编辑]

加入方向考虑之后,如何从一段运动轨迹得到加速度。
  1. 位移:物体位置的变化,包含零位移。
  2. 速度:物体在单位时间内的位移。即位移对时间的微分。速度包含大小和方向两个元素。其中“大小”叫做“速率”。但速度与“位置”无关,等速运动中,不管位置在哪里,其速度不变,都是同一个值,因为其大小和方向皆相同。
  3. 加速度:物体在单位时间内速度的变化。即速度对时间的微分。加速度也包含大小和方向两个元素,也与位置无关。

右图中绿线是运动的轨迹,蓝线及箭头(S1、S2、S3…)代表每单位时间位移的向量。由小图中可以看到 v1=S1/Δt , v2=S2/Δt ,而加速度 a1=v2-v1/Δt 。

位移、速度与加速度是用来解释微积分极好的工具,因为:

  1. 三者在微积分上阶层简明:位移的微分得到速度,速度的微分得到加速度;而加速度的积分得到速度变化量,速度的积分得到位移。
  2. 三者用多项式就能表达。

圆周运动[编辑]

图一:圆周运动切线速度与向心加速度示意图

右图红色向量代表切线速度,不同瞬间,速率相等,速度不等(方向不同)。

蓝色向量代表向心加速度,不同瞬间,加速度大小相等但方向不等。

注意,右图中蓝色向量的向心加速度标示过大,需要修改,真正的大小以图二较为准确。

a,v,r 之间的大小关系

图二:圆周运动 a,v,r 关系图
  1. ,必须与平行且是顺时钟转180度
  2. 求出

证明:

图二中右方与左方三角形相似 =>
两边分母同乘 =>
=>
=>


圆周运动的动力过程

有一个速度向量使运动轨迹直线前进
加上与其垂直的加速度向量,因为加速度与原速度方向垂直,所以无法增加或抵消原速度的大小,只能改变其方向
加速度将轨迹拉弯
Circular motion 04.svg反复上述的过程将得到一个圆周运动的轨迹

速度相加[编辑]

A 在月台,看 B 在列车上,站在 A 的观点:列车及 B 以速度 u 对他进行等速相对运动; B 在车上射出一发子弹(或光束),此子弹(或光束)对 B 的相对速度为 v ,则此子弹(或光束)对 A 的相对速度为,此公式特性如下:

  1. 当 v 为 c 时,相加后的速度为 c 。也就是光束的速度不管从 A 或 B 的观点来看都是 c 。
  2. 速度相加后永远小于等于 c 。
  3. 当 u 、 v 都比 c 小很多时,相加后的速度趋近于 u+v 。

加速度与位移的关系[编辑]

复习乘法公式

证明:为常数,当位移-时间关系为时,速度为(此时称为等加速度运动)

代表不同时间物体的位置,和时间有以下关系:

  1. 稍早时间的位置为
  2. 稍晚时间的位置为
  3. 在经过很短时间的位置改变为

切线斜率、微分、导数[编辑]

,则函式点切线斜率、微分、导数、、()、 都代表同一个意思。

纯量考量[编辑]

同理,在只考纯量的情形下:
,则

位移、速度与加速度的阶层关系[编辑]

f(x), x 轴上有 a,b 两点对应的函数值为 f(a) 与 f(b) ,f'(a) ~ f'(b) 函式曲线与 x 轴所夹面积,恰为 f(a) 与 f(b) 值的差;f''(a) ~ f''(b) 函式曲线与 x 轴所夹面积,恰为 f'(a) 与 f'(b) 值的差。

此关系是直接来自微积分的基本定义,所以对所有的微积分函式都成立。

第一个练习:等速运动[编辑]

问题:等速运动,速度为2m/s,请作 1~10秒 的:

  1. 位移-时间图、表
  2. 速度-时间图、表
  3. 加速度-时间图、表

答: 将x轴设为时间

  1. 位移-时间:位移y=2x
  2. 速度-时间:速度y=2
  3. 加速度-时间:加速度y=0

画图

  1. x,y每单位取 30 点,每一单位画一刻度:
    • 原点距左上角:0,400
    • 0~11 切 11 段

第二个练习:初速度为0,等加速度[编辑]

问题:等加速度运动,初速度为 0 ,加速度为 0.2m/s2,请作 1~5秒 的:

  1. 位移-时间图、表
  2. 速度-时间图、表
  3. 加速度-时间图、表

答: 将x轴设为时间

  1. 位移-时间:位移y=½(0.2)x2=0.1*x2
  2. 速度-时间:速度y=(0.2)x=0.2*x
  3. 加速度-时间:加速度y=0.2

画图

  1. x,y每单位取 100 点,每一单位画一刻度:
  2. 原点距左上角:0,400
  3. 0~6 切 6 段

第三个练习:速度与加速度同向[编辑]

问题:等加速度运动,初速度为 1 ,加速度为 0.2m/s2,请作 1~5秒 的:

  1. 位移-时间图、表
  2. 速度-时间图、表
  3. 加速度-时间图、表

答: 将x轴设为时间

  1. 位移-时间:位移y=½(0.2)x2+x=0.1*x2+x
  2. 速度-时间:速度y=(0.2)x+1=0.2*x+1
  3. 加速度-时间:加速度y=0.2

画图

  1. x,y每单位取 100 点,每 0.1 单位画一刻度:
  2. 原点距左上角:0,400
  3. 0~6 切 6 段

第四个练习:速度与加速度反向[编辑]

问题:等加速度运动,初速度为 1 ,加速度为 -0.2m/s2,请作 1~10秒 的:

  1. 位移-时间图、表
  2. 速度-时间图、表
  3. 加速度-时间图、表

答:将x轴设为时间

  1. 位移-时间:位移y=½(-0.2)x2+x=-0.1*x2+x
  2. 速度-时间:速度y=(-0.2)x+1=-0.2*x+1
  3. 加速度-时间:加速度y=-0.2

画图

  1. x,y每单位取 100 点,每 0.1 单位画一刻度
  2. 原点距左上角:0,400
  3. 各点之x值:始于0,终于11,切11段

向量考量[编辑]