分析力学/牛顿运动定律的抽象化

维基教科书,自由的教学读本
跳到导航 跳到搜索

牛顿力学大量使用矢量与几何作为描述工具,故其又称矢量力学. 牛顿力学的规律在三维欧氏空间内成立,方程是笛卡尔坐标的形式. 而分析力学是高度抽象化的力学,它在任意的非欧空间(流形)上也成立. 本节中的数学推理过程并不严谨,仅为使读者的思维更好地从牛顿力学过渡至分析力学而设.

单质点的牛顿第二定律表达式为

为空间上仅关于坐标 的场,而 是仅关于 的函数,则上式变为

为方便表示,下文中将省略场和空间坐标后的参数.

对保守力而言,可以表示为一标量场 的负梯度,即

称为质点的势能.

定义质点的动能, 则有

把三维欧氏空间内的矢量 拆分为三个独立的分量 . 讨论 分量,则有

代入 的表达式,则上述方程变为

分量亦同理. 记 ,则相应方程组可记为

若能找到一个和动能、势能有关的函数 ,它在对 微分时等同于势能、在对 微分时等同于动能,则上述方程中的 皆可替换为 . 三维欧氏空间中最显然的一个选择是 ,即

但是,在分析力学中,我们采用的是 ,并记函数 ,上述方程就变得与数学上的欧拉方程具有相同形式了:

被称为拉格朗日量.

至此,我们得到了一组抽象的、纯代数的、不需要用矢量来表达的运动方程,它在三维欧氏空间中与牛顿第二定律等价. 经验证,这个方程可以直接推广至任意维度非欧空间,它甚至还可以用于量子力学和相对论力学,只需定义合适的拉格朗日量 即可(仅在欧氏空间内成立)。即使是在欧氏空间,也不必是笛卡尔坐标,而可以是极坐标中的角、模量等。这是牛顿第二定律 所无法做到的.