分析力學/牛頓運動定律的抽象化

牛頓力學大量使用矢量與幾何作為描述工具，故其又稱矢量力學. 牛頓力學的規律在三維歐氏空間內成立，方程是笛卡爾坐標的形式. 而分析力學是高度抽象化的力學，它在任意的非歐空間（流形）上也成立. 本節中的數學推理過程並不嚴謹，僅為使讀者的思維更好地從牛頓力學過渡至分析力學而設.

單質點的牛頓第二定律表達式為

${\boldsymbol {F}}={\dot {\boldsymbol {p}}}$

${\boldsymbol {F}}$為空間上僅關於坐標 ${\boldsymbol {r}}$的場，而 ${\boldsymbol {r}}$是僅關於 $t$的函數，則上式變為

${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t))=m{\ddot {\boldsymbol {r}}}(t)$

為方便表示，下文中將省略場和空間坐標後的參數.

對保守力而言，${\boldsymbol {F}}$可以表示為一標量場 $U$的負梯度，即

${\begin{aligned}{\boldsymbol {F}}&=-\nabla U\\&=-\left({\partial U \over \partial x}{\boldsymbol {e}}_{x}+{\partial U \over \partial y}{\boldsymbol {e}}_{y}+{\partial U \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}\right)\end{aligned}}$

場 $U$稱為質點的勢能.

定義質點的動能為 $T={1 \over 2}m{\boldsymbol {\dot {r}}}^{2}$, 則有

${\begin{aligned}m{\boldsymbol {\dot {r}}}&={\partial T \over \partial {\boldsymbol {\dot {r}}}}\\&={\partial T \over \partial {\dot {x}}}{\boldsymbol {e}}_{x}+{\partial T \over \partial {\dot {y}}}{\boldsymbol {e}}_{y}+{\partial T \over \partial {\dot {z}}}{\boldsymbol {e}}_{z}\end{aligned}}$

把三維歐氏空間內的矢量 ${\boldsymbol {r}}$拆分為三個獨立的分量 $x,y,z$. 討論 $x$分量，則有

$F_{x}=m{\ddot {x}}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}(m{\dot {x}})$

代入 ${\boldsymbol {F}}$與 $m{\boldsymbol {\dot {r}}}$的表達式，則上述方程變為

$-{\partial U \over \partial x}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}{\partial T \over \partial {\dot {x}}}$

$y,z$分量亦同理. 記 $x,y,z$為 $q_{1},q_{2},q_{3}$，則相應方程組可記為

$-{\partial U \over \partial q_{i}}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}{\partial T \over \partial {\dot {q_{i}}}}$

若能找到一個和動能、勢能有關的函數 $f(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{i},{\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},\cdots ,{\dot {q_{i}}},t)$，它在對 $q_{i}$微分時等同於勢能、在對 ${\dot {q_{i}}}$微分時等同於動能，則上述方程中的 $T$與 $U$皆可替換為 $f$. 三維歐氏空間中最顯然的一個選擇是 $f=E=T+U$，即

$-{\partial E \over \partial q_{i}}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}{\partial E \over \partial {\dot {q_{i}}}}$

但是，在分析力學中，我們採用的是 $f=T-U$，並記函數 $f$為 $L$，上述方程就變得與數學上的歐拉方程具有相同形式了：

${\partial L \over \partial q_{i}}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}{\partial L \over \partial {\dot {q_{i}}}}$

$L$ 被稱為拉格朗日量.

至此，我們得到了一組抽象的、純代數的、不需要用矢量來表達的運動方程，它在三維歐氏空間中與牛頓第二定律等價. 經驗證，這個方程可以直接推廣至任意維度非歐空間，它甚至還可以用於量子力學和相對論力學，只需定義合適的拉格朗日量 $L$即可（$L=T-U$僅在歐氏空間內成立）。即使是在歐氏空間，$q_{i}$也不必是笛卡爾坐標，而可以是極坐標中的角、模量等。這是牛頓第二定律 ${\boldsymbol {F}}={\dot {\boldsymbol {p}}}$所無法做到的.