分析力學/牛頓運動定律的抽象化

維基教科書,自由的教學讀本

牛頓力學大量使用向量與幾何作為描述工具,故其又稱向量力學. 牛頓力學的規律在三維歐氏空間內成立,方程是笛卡爾坐標的形式. 而分析力學是高度抽象化的力學,它在任意的非歐空間(流形)上也成立. 本節中的數學推理過程並不嚴謹,僅為使讀者的思維更好地從牛頓力學過渡至分析力學而設.

單質點的牛頓第二定律表達式為

為空間上僅關於坐標 的場,而 是僅關於 的函數,則上式變為

為方便表示,下文中將省略場和空間坐標後的參數.

對保守力而言,可以表示為一純量場 的負梯度,即

稱為質點的勢能.

定義質點的動能, 則有

把三維歐氏空間內的向量 拆分為三個獨立的分量 . 討論 分量,則有

代入 的表達式,則上述方程變為

分量亦同理. 記 ,則相應方程組可記為

若能找到一個和動能、勢能有關的函數 ,它在對 微分時等同於勢能、在對 微分時等同於動能,則上述方程中的 皆可替換為 . 三維歐氏空間中最顯然的一個選擇是 ,即

但是,在分析力學中,我們採用的是 ,並記函數 ,上述方程就變得與數學上的歐拉方程具有相同形式了:

被稱為拉格朗日量.

至此,我們得到了一組抽象的、純代數的、不需要用向量來表達的運動方程,它在三維歐氏空間中與牛頓第二定律等價. 經驗證,這個方程可以直接推廣至任意維度非歐空間,它甚至還可以用於量子力學和相對論力學,只需定義合適的拉格朗日量 即可(僅在歐氏空間內成立)。即使是在歐氏空間,也不必是笛卡爾坐標,而可以是極坐標中的角、模量等。這是牛頓第二定律 所無法做到的.