初中數學/平面幾何

引言

平面几何研究的是平面上的点、线、三角形、正方形、圆等几何对象，它是历史最悠久的数学分支之一。在古代，包括中国在内的许多国家中都产生了平面几何，而体系最完整、对后世的数学发展影响最大的，首推古希腊的几何。在那里，几何不是单纯的作为实用的工具，而是作为锻炼思考、启迪智慧的学问而存在的，甚至还成立了带有宗教性质的组织——毕达哥拉斯学派，据说毕达哥拉斯最早证明了勾股定理。如果说数学跟哲学和工程都有关联的话，古希腊的数学带有更浓的哲学味道，而哲学是讲究思辩的，因此他们把数学建立在严格的逻辑推理的基础上，从而使数学成为严谨而精确的学问。在本书中，我们将追随古希腊的先贤，学习平面几何的基本知识。借助于逻辑推理，我们将从一些显而易见的事实出发，最终获得大量隐藏在暗处的规律，这正是数学的威力所在。衷心的希望读者能从中体会到数学妙不可言而有震撼人心的美。

基本概念

引言

在这一章里，我们主要回答两个问题：平面几何是研究什么的，以及怎样研究。这样我们可以有一个总体的把握，而在后面的章节里，我们就要用这里所介绍的方法去研究具体的问题，相信那时大家会对本章的内容有更直观、更深刻的理解。

平面几何研究的内容

我们首先澄清一个问题：对于一个数学家而言，观察和抽象远比计算重要得多。在《小学数学》中，我们讲了很多加、减、乘、除之类关于计算的内容，这有时会让人觉得数学就是计算，其实不然。以自然数为例，我们观察三个苹果可以分成两个苹果和一个苹果、三个香蕉可以分成两个香蕉和一个香蕉、三杯水可以分成两杯水和一杯水……并从这些具体的物体中抽象出了3这个概念，以及3=2+1，当然其它的自然数也是如此。这才是我们最重要的一步，因为有了这个概念我们才能去做其它事。与之相反的，比如如何快速计算末尾是5的数的平方，这虽然也是知识，但适用的范围就小得多，因而也远不如抽象出一般的概念那样重要。研究平面几何也是一样，我们先要观察生活中的某些方面，并把其中最重要的特征抽象出来（例如1,2,3这样的数字）。我们的人眼没法同时看到物体的全部，而只能看一个侧“面”，所幸很多问题可以在一个面内解决掉，而其中最简单的情形自然是平面。例如要将一个原形的蛋糕平均切成3块，虽然蛋糕是立体的，但假如我们只是俯视，可以用下面的图形来描述。

又如，有$A$、$B$、$C$三个彼此邻近的城市。已知$B$在$A$正东$240$千米，$C$在$A$正南$70$千米，问$B$、$C$两城市之间的距离是多少？可以用下图来描述。

简单的说，我们要研究的是能在一张普通的白纸上能画出的点和线构成的图形，而像魔方之类立体的图形则不在这本书讨论的范围之内。线有直线和曲线两种，像上图中构成三角形的就是直线（准确的说是线段，我们下面会介绍它们的区别，这里我们姑且不作区分），而圆则是由曲线构成的。我们前面主要讨论直线构成的图形，而直线构成的图形总可以看成若干个三角形拼起来的，因此我们会花很大的力气来讨论三角形。后面我们再来学习圆的各种性质。

平面几何的公理

1. 两点确定一条直线
2. 两点之间线段最短
3. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行

三角形的内角和

将三角形的三个角剪下，互相拼合形成一个平角，即，三角形内角和为180°

三角形的全等

若三角形ABC全等於三角形PQR，則三角形ABC完全重疊於三角形PQR。 角A等於角P；角B等於角Q；角C等於角R。(對等角相等) AB線段等於PQ線段；AC線段等於PR線段；BC線段等於QR線段。(對應邊等長)

三角形的全等有六種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、RHS、HL。 (S為邊，A為角，R為直角，H為直角邊，L為斜邊。)

勾股定理

在直角三角形中，兩股平方和等於斜邊平方。 若邊長為a、b、c(a<b<c)，則$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

三角形的相似

若三角形ABC相似於三角形PQR， 則角A等於角P；角B等於角Q；角C等於角R。(對等角相等) 且AB:BC:CA=PQ:QR:PR(對應邊成比例) 三角形的相似的性質有: AA相似、SAS相似、SSS相似，共三種 (S為邊，A為角)

圆

圆的周长公式C=2πr=πd 圆的面积公式S=πr²