初中數學/平面幾何

引言

平面幾何研究的是平面上的點、線、三角形、正方形、圓等幾何對象，它是歷史最悠久的數學分支之一。在古代，包括中國在內的許多國家中都產生了平面幾何，而體系最完整、對後世的數學發展影響最大的，首推古希臘的幾何。在那裏，幾何不是單純的作為實用的工具，而是作為鍛煉思考、啟迪智慧的學問而存在的，甚至還成立了帶有宗教性質的組織——畢達哥拉斯學派，據說畢達哥拉斯最早證明了勾股定理。如果說數學跟哲學和工程都有關聯的話，古希臘的數學帶有更濃的哲學味道，而哲學是講究思辯的，因此他們把數學建立在嚴格的邏輯推理的基礎上，從而使數學成為嚴謹而精確的學問。在本書中，我們將追隨古希臘的先賢，學習平面幾何的基本知識。藉助於邏輯推理，我們將從一些顯而易見的事實出發，最終獲得大量隱藏在暗處的規律，這正是數學的威力所在。衷心的希望讀者能從中體會到數學妙不可言而有震撼人心的美。

基本概念

引言

在這一章里，我們主要回答兩個問題：平面幾何是研究什麼的，以及怎樣研究。這樣我們可以有一個總體的把握，而在後面的章節里，我們就要用這裏所介紹的方法去研究具體的問題，相信那時大家會對本章的內容有更直觀、更深刻的理解。

平面幾何研究的內容

我們首先澄清一個問題：對於一個數學家而言，觀察和抽象遠比計算重要得多。在《小學數學》中，我們講了很多加、減、乘、除之類關於計算的內容，這有時會讓人覺得數學就是計算，其實不然。以自然數為例，我們觀察三個蘋果可以分成兩個蘋果和一個蘋果、三個香蕉可以分成兩個香蕉和一個香蕉、三杯水可以分成兩杯水和一杯水……並從這些具體的物體中抽象出了3這個概念，以及3=2+1，當然其它的自然數也是如此。這才是我們最重要的一步，因為有了這個概念我們才能去做其它事。與之相反的，比如如何快速計算末尾是5的數的平方，這雖然也是知識，但適用的範圍就小得多，因而也遠不如抽象出一般的概念那樣重要。研究平面幾何也是一樣，我們先要觀察生活中的某些方面，並把其中最重要的特徵抽象出來（例如1,2,3這樣的數字）。我們的人眼沒法同時看到物體的全部，而只能看一個側「面」，所幸很多問題可以在一個面內解決掉，而其中最簡單的情形自然是平面。例如要將一個原形的蛋糕平均切成3塊，雖然蛋糕是立體的，但假如我們只是俯視，可以用下面的圖形來描述。

又如，有$A$、$B$、$C$三個彼此鄰近的城市。已知$B$在$A$正東$240$千米，$C$在$A$正南$70$千米，問$B$、$C$兩城市之間的距離是多少？可以用下圖來描述。

簡單的說，我們要研究的是能在一張普通的白紙上能畫出的點和線構成的圖形，而像魔方之類立體的圖形則不在這本書討論的範圍之內。線有直線和曲線兩種，像上圖中構成三角形的就是直線（準確的說是線段，我們下面會介紹它們的區別，這裏我們姑且不作區分），而圓則是由曲線構成的。我們前面主要討論直線構成的圖形，而直線構成的圖形總可以看成若干個三角形拼起來的，因此我們會花很大的力氣來討論三角形。後面我們再來學習圓的各種性質。

平面幾何的公理

1. 兩點確定一條直線
2. 兩點之間線段最短
3. 過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
4. 過一點有且只有一條直線與已知直線平行

三角形的內角和

將三角形的三個角剪下，互相拼合形成一個平角，即，三角形內角和為180°

三角形的全等

若三角形ABC全等於三角形PQR，則三角形ABC完全重疊於三角形PQR。 角A等於角P；角B等於角Q；角C等於角R。(對等角相等) AB線段等於PQ線段；AC線段等於PR線段；BC線段等於QR線段。(對應邊等長)

三角形的全等有六種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、RHS、HL。 (S為邊，A為角，R為直角，H為直角邊，L為斜邊。)

勾股定理

在直角三角形中，兩股平方和等於斜邊平方。 若邊長為a、b、c(a<b<c)，則$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

三角形的相似

若三角形ABC相似於三角形PQR， 則角A等於角P；角B等於角Q；角C等於角R。(對等角相等) 且AB:BC:CA=PQ:QR:PR(對應邊成比例) 三角形的相似的性質有: AA相似、SAS相似、SSS相似，共三種 (S為邊，A為角)

圓

圓的周長公式C=2πr=πd 圓的面積公式S=πr²