初等數論/二次剩餘與二次互反律

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二次剩餘[编辑]

二次剩餘的定義:若有一同餘方程,其中p是一個奇質數,且p不能整除d,若此同餘方程成立,則稱d為模p的二次剩餘,若此同餘方程不成立,則稱d為模p的二次非剩餘

歐拉準則[编辑]

二次剩餘有個判別法,名叫歐拉準則: 此處的d與p及其他符號皆依照上面對於二次剩餘的定義

d為模p的二次剩餘的充要條件為:

d為模p的二次非剩餘的充要條件為:

證明:

只需证明定理的前一半。

  • 必要性:

,且不能被整除。

其中最后一步用到了费马小定理。

  • 充分性:

勒讓德符號[编辑]

依照上面對於二次剩餘的定義,我們可以定義勒讓德符號如下(其實p不能整除d,且p為奇質數):

=1,若d為模p的二次剩餘

=-1,若d為模p的二次非剩餘

由二次剩餘和勒讓德符號的定義可推出:

上面的歐拉判別法亦可用勒讓德符號表示,即:

二次互反律[编辑]

對於奇質數p,q,有以下定理:

二次互反律的證明[编辑]

高斯引理[编辑]

高斯引理的證明[编辑]

雅可比符號[编辑]

習題[编辑]

第一部份─基礎題[编辑]

第二部份─進階題[编辑]