数论 > 初等数论 > 初等數論/二次剩餘與二次互反律
二次剩餘的定義:若有一同餘方程
,其中p是一個奇質數,且p不能整除d,若此同餘方程成立,則稱d為模p的二次剩餘,若此同餘方程不成立,則稱d為模p的二次非剩餘
二次剩餘有個判別法,名叫歐拉準則:
此處的d與p及其他符號皆依照上面對於二次剩餘的定義
d為模p的二次剩餘的充要條件為:
d為模p的二次非剩餘的充要條件為:
證明:
只需证明定理的前一半。
设
,且
不能被
整除。
则由費馬小定理可知
。
依照上面對於二次剩餘的定義,對於奇質數 p 以及整數 d,如果 p 不能整除 d,我們可以定義勒讓德符號
如下:
=1,若d為模p的二次剩餘;
=-1,若d為模p的二次非剩餘
由二次剩餘和勒讓德符號的定義可推出:
;
![{\displaystyle \left({\frac {d+p}{p}}\right)=\left({\frac {d}{p}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953ecee87fd472c041562cad4bc0ee5d6eb889b4)
![{\displaystyle \left({\frac {de}{p}}\right)=\left({\frac {d}{p}}\right)\left({\frac {e}{p}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce8427b9bd138bc139d4c9e46de9fddbe0c2e38)
![{\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{p}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffe94da54b38720d33f0689fe61d354e59b7b77)
上面的歐拉判別法亦可用勒讓德符號表示,即:
對於奇質數p,q,有以下定理:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Book_important2.svg/45px-Book_important2.svg.png) |
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