数论 > 初等数论 > 初等数论/二次剩馀与二次互反律
二次剩馀[编辑]
二次剩馀的定义:若有一同馀方程
,其中p是一个奇质数,且p不能整除d,若此同馀方程成立,则称d为模p的二次剩馀,若此同馀方程不成立,则称d为模p的二次非剩馀
欧拉准则[编辑]
二次剩馀有个判别法,名叫欧拉准则:
此处的d与p及其他符号皆依照上面对于二次剩馀的定义
d为模p的二次剩馀的充要条件为:
d为模p的二次非剩馀的充要条件为:
证明:
只需证明定理的前一半。
设
,且
不能被
整除。
则由费马小定理可知
。
勒让德符号[编辑]
依照上面对于二次剩馀的定义,对于奇质数 p 以及整数 d,如果 p 不能整除 d,我们可以定义勒让德符号
如下:
=1,若d为模p的二次剩馀;
=-1,若d为模p的二次非剩馀
由二次剩馀和勒让德符号的定义可推出:
;
![{\displaystyle \left({\frac {d+p}{p}}\right)=\left({\frac {d}{p}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953ecee87fd472c041562cad4bc0ee5d6eb889b4)
![{\displaystyle \left({\frac {de}{p}}\right)=\left({\frac {d}{p}}\right)\left({\frac {e}{p}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce8427b9bd138bc139d4c9e46de9fddbe0c2e38)
![{\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{p}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffe94da54b38720d33f0689fe61d354e59b7b77)
上面的欧拉判别法亦可用勒让德符号表示,即:
二次互反律[编辑]
对于奇质数p,q,有以下定理:
二次互反律的证明[编辑]
高斯引理[编辑]
高斯引理的证明[编辑]
雅可比符号[编辑]
第一部份─基础题[编辑]
第二部份─进阶题[编辑]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Book_important2.svg/45px-Book_important2.svg.png) |
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