数论 > 初等数论 > 初等数论/二次剩馀与二次互反律
二次剩馀的定义:若有一同馀方程,其中p是一个奇质数,且p不能整除d,若此同馀方程成立,则称d为模p的二次剩馀,若此同馀方程不成立,则称d为模p的二次非剩馀
二次剩馀有个判别法,名叫欧拉准则:
此处的d与p及其他符号皆依照上面对于二次剩馀的定义
d为模p的二次剩馀的充要条件为:
d为模p的二次非剩馀的充要条件为:
证明:
只需证明定理的前一半。
设,且不能被整除。
则由费马小定理可知
。
依照上面对于二次剩馀的定义,对于奇质数 p 以及整数 d,如果 p 不能整除 d,我们可以定义勒让德符号如下:
=1,若d为模p的二次剩馀;
=-1,若d为模p的二次非剩馀
由二次剩馀和勒让德符号的定义可推出:
- ;
上面的欧拉判别法亦可用勒让德符号表示,即:
对于奇质数p,q,有以下定理:
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