数论 > 初等数论 > 初等数论/二次剩余与二次互反律
二次剩余[编辑]
二次剩余的定义:若有一同余方程,其中p是一个奇质数,且p不能整除d,若此同余方程成立,则称d为模p的二次剩余,若此同余方程不成立,则称d为模p的二次非剩余
欧拉准则[编辑]
二次剩余有个判别法,名叫欧拉准则:
此处的d与p及其他符号皆依照上面对于二次剩余的定义
d为模p的二次剩余的充要条件为:
d为模p的二次非剩余的充要条件为:
证明:
只需证明定理的前一半。
设,且不能被整除。
则由费马小定理可知
。
勒让德符号[编辑]
依照上面对于二次剩余的定义,对于奇质数 p 以及整数 d,如果 p 不能整除 d,我们可以定义勒让德符号如下:
=1,若d为模p的二次剩余;
=-1,若d为模p的二次非剩余
由二次剩余和勒让德符号的定义可推出:
- ;
上面的欧拉判别法亦可用勒让德符号表示,即:
二次互反律[编辑]
对于奇质数p,q,有以下定理:
二次互反律的证明[编辑]
高斯引理[编辑]
高斯引理的证明[编辑]
雅可比符号[编辑]
第一部分─基础题[编辑]
第二部分─进阶题[编辑]
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