哥德巴赫猜想

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哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）是数论中一个著名的未解决问题，由普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）于1742年在给欧拉的信中首次提出。这个猜想是加法数论中最古老的未解决问题之一，尽管经过了数百年的研究，至今仍未被完全证明。

内容

哥德巴赫猜想有两个主要形式：

任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。

数学表达式：对于任意偶数 \[n > 2\]，存在素数 \[p\] 和 \[q\]，使得 \[n = p + q\]。

例如：

任何大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。

这个版本已于2013年被秘鲁数学家哈罗德·赫尔夫哥特（Harald Helfgott）证明。

哥德巴赫猜想的历史可以追溯到1742年，当时克里斯蒂安·哥德巴赫在给欧拉的一封信中提出了一个更一般的猜想：每个大于2的整数都可以写成不超过三个素数的和。当时素数的定义包括1，而在现代数学中1不再被视为素数。

欧拉回信中重新表述了这个猜想，分为我们现在所知的强弱两个版本。自那时起，这个问题吸引了无数数学家的关注。

1930年：苏联数学家伊万·维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）证明了足够大的奇数可以表示为三个素数之和。
1937年：苏联数学家列夫·施尼雷尔曼（Lev Schnirelmann）证明任何自然数都可以表示为不超过300,000个素数的和。
1966年：中国数学家陈景润证明了"1+2"定理，即每个足够大的偶数可以表示为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和。
2013年：秘鲁数学家哈罗德·赫尔夫哥特证明了弱哥德巴赫猜想。
2019年：数学家让-马克·德马恩（Jean-Marc Deshouillers）等人通过计算机验证证实了强哥德巴赫猜想对所有不超过\[4 \times 10^{18}\]的偶数成立。

哥德巴赫猜想的重要性不仅在于问题本身，还在于它推动了素数理论和解析数论的发展。许多现代数学技术都是在尝试解决这个问题的过程中发展起来的。

虽然哥德巴赫猜想并不是希尔伯特23个问题之一，但它与希尔伯特第8问题（黎曼猜想及素数分布）有密切关系。在1900年的国际数学家大会上，希尔伯特确实提到了素数问题的重要性，这间接影响了对哥德巴赫猜想的研究。

哥德巴赫猜想可以用多种方式表述。一种优雅的表述是：

对于任意整数 \[N > 1\]，当所有整数 \[N+X\] 与 \[N-X\] 都是素数时，偶数 \[2N = (N+X) + (N-X)\] 就满足哥德巴赫猜想。

Goldbach, C. (1742). "Letter to L. Euler".
Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem".
Chen, J.R. (1966). "On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes".