哥德巴赫猜想

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哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）是數論中一個著名的未解決問題，由普魯士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）於1742年在給歐拉的信中首次提出。這個猜想是加法數論中最古老的未解決問題之一，儘管經過了數百年的研究，至今仍未被完全證明。

內容

哥德巴赫猜想有兩個主要形式：

任何大於2的偶數都可以表示為兩個質數之和。

數學表達式：對於任意偶數 \[n > 2\]，存在質數 \[p\] 和 \[q\]，使得 \[n = p + q\]。

例如：

任何大於5的奇數都可以表示為三個質數之和。

這個版本已於2013年被秘魯數學家哈羅德·赫爾夫哥德（Harald Helfgott）證明。

哥德巴赫猜想的歷史可以追溯到1742年，當時克里斯蒂安·哥德巴赫在給歐拉的一封信中提出了一個更一般的猜想：每個大於2的整數都可以寫成不超過三個質數的和。當時質數的定義包括1，而在現代數學中1不再被視為質數。

歐拉回信中重新表述了這個猜想，分為我們現在所知的強弱兩個版本。自那時起，這個問題吸引了無數數學家的關注。

1930年：蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫（Ivan Vinogradov）證明了足夠大的奇數可以表示為三個質數之和。
1937年：蘇聯數學家列夫·施尼雷爾曼（Lev Schnirelmann）證明任何自然數都可以表示為不超過300,000個質數的和。
1966年：中國數學家陳景潤證明了"1+2"定理，即每個足夠大的偶數可以表示為一個質數與一個不超過兩個質數的乘積之和。
2013年：秘魯數學家哈羅德·赫爾夫哥德證明了弱哥德巴赫猜想。
2019年：數學家讓-馬克·德馬恩（Jean-Marc Deshouillers）等人通過計算機驗證證實了強哥德巴赫猜想對所有不超過\[4 \times 10^{18}\]的偶數成立。

哥德巴赫猜想的重要性不僅在於問題本身，還在於它推動了質數理論和解析數論的發展。許多現代數學技術都是在嘗試解決這個問題的過程中發展起來的。

雖然哥德巴赫猜想並不是希爾伯特23個問題之一，但它與希爾伯特第8問題（黎曼猜想及質數分布）有密切關係。在1900年的國際數學家大會上，希爾伯特確實提到了質數問題的重要性，這間接影響了對哥德巴赫猜想的研究。

哥德巴赫猜想可以用多種方式表述。一種優雅的表述是：

对于任意整数 \[N > 1\]，当所有整数 \[N+X\] 与 \[N-X\] 都是素数时，偶数 \[2N = (N+X) + (N-X)\] 就满足哥德巴赫猜想。

Goldbach, C. (1742). "Letter to L. Euler".
Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem".
Chen, J.R. (1966). "On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes".