國中數學/國中數學七年級/7-1 一元一次不等式

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 6-2 正比與反比 國中數學七年級
7-1 一元一次不等式
7-2 解一元一次不等式 

在生活情境當中,有一些限制的情況,比方說:

  1. 未滿歲的青少年不宜觀看限制級電影。[註 1]
  2. 如果車子的高度高於公尺不能通過一些隧道。
  3. 汽車在一般道路上通常速限不高於每小時公里。
  4. 台北市搭乘公車時,兒童身高未滿公分者免費,或身高滿公分而未滿歲且持有身份證明之兒童免費,免費兒童應由已購全票之乘客攜帶,最多以人為限,逾限仍須購買車票。[註 2]

在第七章,我們將會探索這類問題。而本節首先帶領各位認識這類問題的式子以及列式。

不等號的認識[编辑]

要學習本章節,首先要先認識以下的不等號以及其常見用語:(以下整理自各大版本之數學課本)

不等號
名稱
常見用語
大於
高於、多於、超過、比…大
小於
低於、少於、比…小、未滿、未達、不到、不夠、不足
大於等於
不小於、不低於、不少於、至少、最少為、以上(含)
小於等於
不大於、不高於、不多於、至多、最多為、不超過、不逾、以下(含)
不等於
不是、不相等、相異
例題
將以下敘述寫成不等式。

不超過
大。
倍多不低於

「不超過」指的是,所以「不超過」可以寫作
「比…大」指的是,所以「大」可以寫作
「不低於」指的是,而倍多,所以「倍多不低於」可以寫作

小測

  

1 超過」可以寫成以下哪一個不等式?

2 不大於」可以寫成以下哪一個不等式?

3 至少是」可以寫成以下哪一個不等式?

4 大」可以寫成以下哪一個不等式?

5 哪一個敘述不能寫成「」?

未達
不到
不逾
不足

6 不小於」可以寫成以下哪一個不等式?


一元一次不等式[编辑]

形如等只有出現一個未知數(一元),而且未知數的最高次方為(一次)的不等式,我們稱這些式子為一元一次不等式

生活應用[编辑]

認識了常見用語之後,讓我們來看看生活的應用:

例題
已知台灣高鐵公司規定:未滿歲之兒童得購買孩童票[註 3]。若雨婷需要購買兒童票,而且雨婷今年歲,則依題意可以列出一元一次不等式為何?
因為雨婷需要購買兒童票,所以雨婷的年齡未滿歲,又因為「未滿」是「」,雨婷的年齡是歲,所以依題意可以列出一元一次不等式。而又因為年齡永遠是正數,所以,於是綜合起來為「[註 4]

習題
我國高速公路的最高限速為公里,已知以涵因為超速所以收到罰單,而當時以涵開車的時速為每小時公里,則依題意可以列出一元一次不等式為何?[習題解答 1]
紹華的媽媽規定紹華每天使用電腦的時間不多於小時,若紹華今天沒有違規,而且紹華使用電腦小時,則依題意可以列出一元一次不等式為何?[習題解答 2]

例題
便利商店每個飯糰元,每瓶綠茶元,小玉買了個飯糰和瓶綠茶,而且小玉的花費不超過元,則依題意可以列出一元一次不等式為何?
因為小玉買飯糰花了元,買綠茶花了元,所以總花費為,又題目說且小玉的花費不超過元,「不超過」指的是「」,所以依題意可以列出一元一次不等式「」。

習題
達達原本有存款元,他想要每天存元,則天之後他的存款將超過元。請依題意列出一元一次不等式。[習題解答 3]
美琪有存款元,美玲的存款有元。已知美琪存款的倍少元不少於美玲的存款,請依題意列出一元一次不等式。[習題解答 4]

在這邊提醒一件事,在進行列式的時候,要注意數量之間的關係,而且也根據題意判別是「(大於)」、「(小於)」、「(大於或等於)」或「(小於或等於)」。

例題
婉芬前三次的數學小考分別是分,而且婉芬前三次的數學小考平均不到分,則依題意可以列出一元一次不等式為何?
因為婉芬前三次小考的總分為分,所以平均為分,又題目說婉芬前三次的數學小考平均不到分,「不到」指的是「」,所以依題意可以列出一元一次不等式「」。

例題還有一個另解,那就是平均不到分,代表總分不到分,所以也可以列式為

一元一次不等式的解[编辑]

滿足一元一次不等式的所有數值我們稱作一元一次不等式的。舉例說明如下:

  • 為例:
  1. 」是「」的解,因為將代入得到,符合不等式。
  2. 」是「」的解,因為將代入得到,符合不等式(只要「小於」或「等於」任一個成立即可)。
  3. 不是」的解,因為將代入得到不符合不等式。
  • 為例:
  1. 不是」的解,因為將代入得到,不符合不等式。
  2. 」也不是」的解,因為將代入得到,不符合不等式。
  3. 」是「」的解,因為將代入得到,符合不等式。
  4. 」也是「」的解,因為將代入得到,符合不等式。

我們可以發現一元一次不等式的解在沒有要求的情況下會有無限多個

例題
三數中,有哪些是的解?

代入可得,計算化簡得不符合不等式,故不是的解。
代入可得,計算化簡得符合不等式,故的解。
代入可得,計算化簡得符合不等式,故的解。
故是的解有

小測

  

1 哪些是不等式「」的解?(複選題)

2 哪些是不等式「」的解?(複選題)

3 」為以下哪些一元一次不等式的解?(複選題)

生活應用[编辑]

不等式的解可以應用在生活上。以下是幾個例子:

例題
金聯超市周年慶,全店商品依原價打七折出售。偉德元,

假設他可以購買原價元的商品,依題意我們可以列出一元一次不等式為何?
他夠不夠買一包原價元的消化餅呢?

原價元的商品,打七折之後為元,因為偉德可以購買原價元的商品,所以不超過,即
代入可以得到,化簡得符合不等式,故偉德夠買一包原價元的消化餅。

習題
小佳手機的基本費為元,每通話一秒需支付元。若小佳上個月總共的電話帳單不少於元,而且她上個月總共通話秒,則:

  • 依題意可以列出一元一次不等式為何?[習題解答 5]
  • 小佳上個月可能總共通話秒嗎?[習題解答 6]

進階挑戰
孟臻參加數學競試,總共題,答對一題得分,答錯一題倒扣分,沒做答不得分也不倒扣。已知孟臻未作答題,而且她的分數高於分。

  • 依題意可以列出一元一次不等式為何?[習題解答 7]
  • 俊澤說:「孟臻可能只答對題。」你認為俊澤說的是否合理?[習題解答 8]

一元一次不等式解的圖形[编辑]

每個人繪製一元一次不等式的圖形不盡相同,但是都會秉持一個原則:有等號為實心,沒等號為空心。以下是一些常見的繪製圖形:

不等式
圖形畫法
圖形畫法
X>2.jpg
X大於2.jpg
X<2.jpg
X小於2.jpg
X大於等於2.jpg
X≧2.jpg
X≦2.jpg
X小於等於2.jpg

習題解答[编辑]

  1. (有10公里的寬限值)
  2. 不可能。
  3. 不合理,因為此時孟臻只得到分,沒有高於分。

註解[编辑]

  1. 資料來源:電影分級制度
  2. 資料來源:台北市公共汽車客運同業公會
  3. 資料來源:台灣高鐵網站
  4. 有些版本會忽略這個部分,因為情境中是自然發生的。

參考資料[编辑]

  1. 維基百科:不等號
  2. 維基百科:不等式

以後會用到不等式的單元[编辑]