國中數學/國中數學七年級/7-1 一元一次不等式

6-2 正比與反比

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國中數學七年級 7-1 一元一次不等式

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7-2 解一元一次不等式

在生活情境當中，有一些限制的情況，比方說：

1. 未滿$18$歲的青少年不宜觀看限制級電影。
2. 如果車子的高度高於$3.5$公尺不能通過一些隧道。
3. 汽車在一般道路上通常速限不高於每小時$50$公里。
4. 在台北市搭乘巴士時，兒童身高未滿$115$公分者免費，或身高滿$115$公分而未滿$6$歲且持有身份證明之兒童免費，免費兒童應由已購全票之乘客攜帶，最多以$2$人為限，逾限仍須購買車票。

在第七章，我們將會探索這類問題。而本節首先帶領各位認識這類問題的式子以及列式。

不等號的認識

要學習本章節，首先要先認識以下的不等號以及其常見用語：(以下整理自各大版本之數學課本)

不等號	名稱	常見用語
$>$	大於	高於、多於、超過、比…大
$<$	小於	低於、少於、比…小、未滿、未達、不到、不夠、不足
$\geq$	大於等於	不小於、不低於、不少於、至少、最少為、以上(含)
$\leq$	小於等於	不大於、不高於、不多於、至多、最多為、不超過、不逾、以下(含)
$\neq$	不等於	不是、不相等、相異

例題$1$ 將以下敘述寫成不等式。 $(1)x$不超過$13$。 $(2)2y$比$32$大。 $(3)a$的$7$倍多$4$不低於$29$。

解 $(1)$「不超過」指的是$\leq$，所以「$x$不超過$13$」可以寫作$x\leq 13$。 $(2)$「比…大」指的是$>$，所以「$2y$比$32$大」可以寫作$2y>32$。 $(3)$「不低於」指的是$\geq$，而$a$的$7$倍多$4$是$7a+4$，所以「$a$的$7$倍多$4$不低於$29$」可以寫作$7a+4\geq 29$。

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的系數：

1 「$x$超過$12$」可以寫成以下哪一個不等式？

	$x<12$
	$x>12$
	$x\leq 12$
	$x\geq 12$

2 「$2y+3$不大於$9$」可以寫成以下哪一個不等式？

	$2y+3<9$
	$2y+3>9$
	$2y+3\leq 9$
	$2y+3\geq 9$

3 「$5z-7$至少是$66$」可以寫成以下哪一個不等式？

	$5z-7<66$
	$5z-7>66$
	$5z-7\leq 66$
	$5z-7\geq 66$

4 「$36$比$4y-9$大」可以寫成以下哪一個不等式？

	$4y-9<36$
	$4y-9>36$
	$4y-9\leq 36$
	$4y-9\geq 36$

5 哪一個敘述不能寫成「$x<7$」？

	$x$未達$7$
	$x$不到$7$
	$x$不逾$7$
	$x$不足$7$

6 「$5x+2$不小於$3x-7$」可以寫成以下哪一個不等式？

	$5x+2<3x-7$
	$5x+2>3x-7$
	$5x+2\leq 3x-7$
	$5x+2\geq 3x-7$

一元一次不等式

形如$x\leq 13$、$2y>32$、$7a+4\geq 29$等只有出現一個未知數(一元)，而且未知數的最高次方為$1$(一次)的不等式，我們稱這些式子為一元一次不等式。

生活應用

認識了常見用語之後，讓我們來看看生活的應用：

例題$2$ 已知台灣高鐵公司規定：未滿$12$歲之兒童得購買孩童票。若雨婷需要購買兒童票，而且雨婷今年$x$歲，則依題意可以列出一元一次不等式為何？

解 因為雨婷需要購買兒童票，所以雨婷的年齡未滿$12$歲，又因為「未滿」是「$<$」，雨婷的年齡是$x$歲，所以依題意可以列出一元一次不等式$x<12$。而又因為年齡永遠是正數，所以$x>0$，於是綜合起來為「$0<x<12$」

習題
$1.$我國高速公路的最高限速為$100$公里，已知以涵因為超速所以收到罰單，而當時以涵開車的時速為每小時$x$公里，則依題意可以列出一元一次不等式為何？
$2.$紹華的媽媽規定紹華每天使用電腦的時間不多於$3$小時，若紹華今天沒有違規，而且紹華使用電腦$y$小時，則依題意可以列出一元一次不等式為何？

例題$3$ 便利商店每個飯糰$32$元，每瓶綠茶$25$元，小玉買了$x$個飯糰和$1$瓶綠茶，而且小玉的花費不超過$200$元，則依題意可以列出一元一次不等式為何？

解 因為小玉買飯糰花了$32x$元，買綠茶花了$25\times 1=25$元，所以總花費為$32x+25$，又題目說且小玉的花費不超過$200$元，「不超過」指的是「$\leq$」，所以依題意可以列出一元一次不等式「$32x+25\leq 200$」。

習題
$3.$達達原本有存款$50$元，他想要每天存$20$元，則$x$天之後他的存款將超過$500$元。請依題意列出一元一次不等式。
$4.$美琪有存款$y$元，美玲的存款有$150$元。已知美琪存款的$2$倍少$10$元不少於美玲的存款，請依題意列出一元一次不等式。

在這邊提醒一件事，在進行列式的時候，要注意數量之間的關係，而且也根據題意判別是「$>$(大於)」、「$<$(小於)」、「$\geq$(大於或等於)」或「$\leq$(小於或等於)」。

例題$4$ 婉芬前三次的數學小考分別是$88$、$91$、$x$分，而且婉芬前三次的數學小考平均不到$90$分，則依題意可以列出一元一次不等式為何？

解 因為婉芬前三次小考的總分為$(88+91+x)$分，所以平均為${\frac {88+91+x}{3}}$分，又題目說婉芬前三次的數學小考平均不到$90$分，「不到」指的是「$<$」，所以依題意可以列出一元一次不等式「${\frac {88+91+x}{3}}<90$」。

例題$4$還有一個另解，那就是平均不到$90$分，代表總分不到$90\times 3=270$分，所以也可以列式為$88+91+x<270$。

一元一次不等式的解

滿足一元一次不等式的所有數值我們稱作一元一次不等式的解。舉例說明如下：

• 以$x\leq 13$為例：

1. 「$x=12$」是「$x\leq 13$」的解，因為將$x=12$代入$x\leq 13$得到$12\leq 13$，符合不等式。
2. 「$x=13$」是「$x\leq 13$」的解，因為將$x=13$代入$x\leq 13$得到$13\leq 13$，符合不等式($\leq$只要「小於」或「等於」任一個成立即可)。
3. 「$x=14$」不是「$x\leq 13$」的解，因為將$x=14$代入$x\leq 13$得到$14\leq 13$，不符合不等式。

• 以$2y>32$為例：

1. 「$y=15$」不是「$2y>32$」的解，因為將$y=15$代入$2y>32$得到$30>32$，不符合不等式。
2. 「$y=16$」也不是「$2y>32$」的解，因為將$y=16$代入$2y>32$得到$32>32$，不符合不等式。
3. 「$y=17$」是「$2y>32$」的解，因為將$y=17$代入$2y>32$得到$34>32$，符合不等式。
4. 「$y=16.1$」也是「$2y>32$」的解，因為將$y=16.1$代入$2y>32$得到$32.2>32$，符合不等式。

我們可以發現一元一次不等式的解在沒有要求的情況下會有無限多個。

例題$5$ $x=5$、$x=6$、$x=7$三數中，有哪些是$3x+1\geq 2x+7$的解？

解 $(1)$將$x=5$代入$3x+1\geq 2x+7$可得$3\times 5+1\geq 2\times 5+7$，計算化簡得$16\geq 17$不符合不等式，故$x=5$不是$3x+1\geq 2x+7$的解。 $(2)$將$x=6$代入$3x+1\geq 2x+7$可得$3\times 6+1\geq 2\times 6+7$，計算化簡得$19\geq 19$符合不等式，故$x=6$是$3x+1\geq 2x+7$的解。 $(3)$將$x=7$代入$3x+1\geq 2x+7$可得$3\times 7+1\geq 2\times 7+7$，計算化簡得$22\geq 21$符合不等式，故$x=7$是$3x+1\geq 2x+7$的解。 故是$3x+1\geq 2x+7$的解有$x=6$與$x=7$。

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的系數：

1 哪些是不等式「$y\leq 15$」的解？(複選題)

	$13$
	$14$
	$15$
	$15.1$
	$14.9$

2 哪些是不等式「$3x+1\geq 16$」的解？(複選題)

	$4$
	$5$
	$6$
	$4{\frac {2}{3}}$
	${\frac {21}{4}}$

3 「$a=15$」為以下哪些一元一次不等式的解？(複選題)

	$a<15$
	$a\geq 15$
	$2a\leq 40$
	$2a+3>a+20$
	$3a+16<4a+1$

生活應用

不等式的解可以應用在生活上。以下是幾個例子：

例題$6$ 金聯超市周年慶，全店商品依原價打七折出售。偉德有$70$元， $(1)$假設他可以購買原價$x$元的商品，依題意我們可以列出一元一次不等式為何？ $(2)$他夠不夠買一包原價$90$元的消化餅呢？

解 $(1)$原價$x$元的商品，打七折之後為$0.7x$元，因為偉德可以購買原價$x$元的商品，所以$0.7x$不超過$70$，即$0.7x\leq 70$。 $(2)$將$x=90$代入$0.7x\leq 70$可以得到$0.7\times 90\leq 70$，化簡得$63\leq 70$符合不等式，故偉德夠買一包原價$90$元的消化餅。

習題
$5.$小佳手機的基本費為$300$元，每通話一秒需支付$0.06$元。若小佳上個月總共的電話帳單不少於$450$元，而且她上個月總共通話$x$秒，則：

• $(1)$依題意可以列出一元一次不等式為何？
  
• $(2)$小佳上個月可能總共通話$200$秒嗎？
  

進階挑戰
$6.$孟臻參加數學競試，總共$25$題，答對一題得$4$分，答錯一題倒扣$1$分，沒做答不得分也不倒扣。已知孟臻未作答$3$題，而且她的分數高於$70$分。

• $(1)$依題意可以列出一元一次不等式為何？
  
• $(2)$俊澤說：「孟臻可能只答對$18$題。」你認為俊澤說的是否合理？
  

一元一次不等式解的圖形

每個人繪製一元一次不等式的圖形不盡相同，但是都會秉持一個原則：有等號為實心，沒等號為空心。以下是一些常見的繪製圖形：

不等式	圖形畫法$1$	圖形畫法$2$
$x>2$
$x<2$
$x\geq 2$
$x\leq 2$

參考資料

1. 維基百科：不等號
2. 維基百科：不等式

以後會用到不等式的單元

• 根號
• 配方法與公式解
• 三角形的邊角關係
• 二次函數
• 一元一次不等式(高中數學)(討論兩段式的一元一次不等式)
• 邏輯與命題(高中數學)