多變量微積分/多元微分学

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多元函数基本定义

二重极限

设函数f(x,y)在区域D内有定义，且点($x_{0}$,$y_{0}$)是该区域的聚点。$\forall \varepsilon >0$ ,$\exists \delta$，对于$(x,y)\in D$，在一下情况下：

$0<{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<\delta$

满足：

$\left|f(x,y)-C\right|<\varepsilon$

则称C是函数f(x,y)在点($x_{0}$,$y_{0}$)的二重极限。 记作：

$\lim _{x\to x_{0} \atop y\to y_{0}}f(x,y)=C$

多元函数的连续性

若函数f(x,y)在点($x_{0}$,$y_{0}$)的某个邻域内满足：

$\lim _{x\to x_{0} \atop y\to y_{0}}f(x,y)=f(x_{0},y_{0})$

则称函数f(x,y)在点($x_{0}$,$y_{0}$)处连续。

求导法则

复合求导法

1.若函数f(x,y)可微，且x=$\phi$(t)，y=$\varphi$(t)都对t可导，则复合函数f($\phi$(t),$\varphi$(t))也对t可导，且满足：

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}$

2.若函数f(u,v)可微，且u=$\phi$(x,y)，v=$\varphi$(x,y)都对t可导，则复合函数f($\phi$(x,y),$\varphi$(x,y))也对(x,y)存在偏导数，且满足：

$\left({\begin{matrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial f}{\partial y}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{matrix}}\right)$