多變量微積分/多元微分學

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多元函數基本定義

二重極限

設函數f(x,y)在區域D內有定義，且點($x_0$,$y_0$)是該區域的聚點。$\mathrm{\forall }\epsilon >0$ ,$\mathrm{\exists }\delta$，對於$(x,y)\in D$，在一下情況下：

$0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$

滿足：

$|f(x,y)-C|<\epsilon$

則稱C是函數f(x,y)在點($x_0$,$y_0$)的二重極限。 記作：

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{lim}f(x,y)=C$

多元函數的連續性

若函數f(x,y)在點($x_0$,$y_0$)的某個鄰域內滿足：

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$

則稱函數f(x,y)在點($x_0$,$y_0$)處連續。

求導法則

複合求導法

1.若函數f(x,y)可微，且x=$\varphi$(t)，y=$\phi$(t)都對t可導，則複合函數f($\varphi$(t),$\phi$(t))也對t可導，且滿足：

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

2.若函數f(u,v)可微，且u=$\varphi$(x,y)，v=$\phi$(x,y)都對t可導，則複合函數f($\varphi$(x,y),$\phi$(x,y))也對(x,y)存在偏導數，且滿足：

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial u}{\partial y}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial u}\\ \\ \frac{\partial f}{\partial v}\end{array}\right)$