多變量微積分/多元微分學

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多元函數基本定義

二重極限

設函數f(x,y)在區域D內有定義，且點($x_{0}$,$y_{0}$)是該區域的聚點。$\forall \varepsilon >0$ ,$\exists \delta$，對於$(x,y)\in D$，在一下情況下：

$0<{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<\delta$

滿足：

$\left|f(x,y)-C\right|<\varepsilon$

則稱C是函數f(x,y)在點($x_{0}$,$y_{0}$)的二重極限。 記作：

$\lim _{x\to x_{0} \atop y\to y_{0}}f(x,y)=C$

多元函數的連續性

若函數f(x,y)在點($x_{0}$,$y_{0}$)的某個鄰域內滿足：

$\lim _{x\to x_{0} \atop y\to y_{0}}f(x,y)=f(x_{0},y_{0})$

則稱函數f(x,y)在點($x_{0}$,$y_{0}$)處連續。

求導法則

複合求導法

1.若函數f(x,y)可微，且x=$\phi$(t)，y=$\varphi$(t)都對t可導，則複合函數f($\phi$(t),$\varphi$(t))也對t可導，且滿足：

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}$

2.若函數f(u,v)可微，且u=$\phi$(x,y)，v=$\varphi$(x,y)都對t可導，則複合函數f($\phi$(x,y),$\varphi$(x,y))也對(x,y)存在偏導數，且滿足：

$\left({\begin{matrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial f}{\partial y}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{matrix}}\right)$