微分几何/切向量與正則曲線

有了參數式後，我們就不可免除的要來微分一下，我們稱 ${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ 的一階導數 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$ 為曲線 ${\boldsymbol {\alpha }}$ 於 $t$ 的切向量（或速度向量，以物理學的角度來看）。若切向量 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\neq 0$ ，則我們定義過 ${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ 方向向 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)$ 的直線為 ${\boldsymbol {\alpha }}$ 在${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ 的切線，並且我們可定義單位切向量 ${\boldsymbol {T}}(t)={\frac {{\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)}{\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert }}$ 為與切向量同向而長度為1之向量。

有時我們會發現，光有可微性仍然無法保證曲線能長得很平滑，如以下這個例子：

例: ${\boldsymbol {\alpha }}:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ^{2},{\boldsymbol {\alpha }}(t)=(t^{3},t^{2}),t\in \mathbb {R}$ 。

α(t)的图像

這個例子中，我們可以看到曲線上會有一個轉折。探究原因，我們發現在 ${\boldsymbol {\alpha }}(0)=(0,0)$ 這點，切向量 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(0)=(0,0)$ ，我們稱這種切向量（一階導數）等於零的點為奇點。若我們把單位切向量函數 ${\boldsymbol {T}}(t)$ 的參數 $t$ 對 $0$ 作逼近，我們會發現其左極限和右極限是不相等的，即是說奇點的存在容許了這種單位切向量的轉折，也因此奇點的切線是未定義的。為了確保切線能存在，我們便定義正則曲線：

定義: 一個可微參數曲線 ${\boldsymbol {\alpha }}:I\mapsto \mathbb {R} ^{3}$ 為正則曲線，當 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\neq \mathbf {0}$ 對於所有 $t\in I$ 。