微分几何/切向量与正则曲线

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有了参数式后,我们就不可免除的要来微分一下,我们称 的一阶导数 为曲线 切向量(或速度向量,以物理学的角度来看)。若切向量 ,则我们定义过 方向向 的直线为 切线,并且我们可定义单位切向量 为与切向量同向而长度为1之向量。

有时我们会发现,光有可微性仍然无法保证曲线能长得很平滑,如以下这个例子:

例:

先单调低再单调增,在原点出有一个拐点
α(t)的图像

这个例子中,我们可以看到曲线上会有一个转折。探究原因,我们发现在 这点,切向量 ,我们称这种切向量(一阶导数)等于零的点为奇点。若我们把单位切向量函数 的参数 作逼近,我们会发现其左极限和右极限是不相等的,即是说奇点的存在容许了这种单位切向量的转折,也因此奇点的切线是未定义的。为了确保切线能存在,我们便定义正则曲线:

定义: 一个可微参数曲线 为正则曲线,当 对于所有