微分几何/切向量与正则曲线

有了参数式后，我们就不可免除的要来微分一下，我们称 ${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ 的一阶导数 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$ 为曲线 ${\boldsymbol {\alpha }}$ 于 $t$ 的切向量（或速度向量，以物理学的角度来看）。若切向量 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\neq 0$ ，则我们定义过 ${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ 方向向 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)$ 的直线为 ${\boldsymbol {\alpha }}$ 在${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ 的切线，并且我们可定义单位切向量 ${\boldsymbol {T}}(t)={\frac {{\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)}{\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert }}$ 为与切向量同向而长度为1之向量。

有时我们会发现，光有可微性仍然无法保证曲线能长得很平滑，如以下这个例子：

例: ${\boldsymbol {\alpha }}:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ^{2},{\boldsymbol {\alpha }}(t)=(t^{3},t^{2}),t\in \mathbb {R}$ 。

α(t)的图像

这个例子中，我们可以看到曲线上会有一个转折。探究原因，我们发现在 ${\boldsymbol {\alpha }}(0)=(0,0)$ 这点，切向量 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(0)=(0,0)$ ，我们称这种切向量（一阶导数）等于零的点为奇点。若我们把单位切向量函数 ${\boldsymbol {T}}(t)$ 的参数 $t$ 对 $0$ 作逼近，我们会发现其左极限和右极限是不相等的，即是说奇点的存在容许了这种单位切向量的转折，也因此奇点的切线是未定义的。为了确保切线能存在，我们便定义正则曲线：

定义: 一个可微参数曲线 ${\boldsymbol {\alpha }}:I\mapsto \mathbb {R} ^{3}$ 为正则曲线，当 ${\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\neq \mathbf {0}$ 对于所有 $t\in I$ 。