歐基里德幾何/第一卷

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定义

点是没有部分的
线只有长度而没有宽度
线的两端是点
直线是它上面的点平坦地放在上面
面只有长度和宽度
面的边界是线
平面是它上面的线平坦地放在上面
平面角是在同一平面内不在一条直线上的两条相交线相交的倾斜度
当相交成平面角的两条线都是直线时，这个平面角也叫直线角
当两条直线相交成的四个角都相等时，这四个角都是直角，而且成任一条直线垂直于另一条直线
大于直角的角叫做钝角
小于直角的角叫做锐角
边界是物体的边缘
图形是被一个或多个边界围成的
圆是由一条线围成的平面图形，圆中有一点到这条线上地任一点所连成的线段均相等
这一点叫做圆的圆心
直径是圆中任意一条经过圆心的直线且在两点处被圆所截得的线段，且它把圆二等分
半圆是直径与它截圆截出的圆弧所围成的图形，半圆的圆心和圆的圆心相同
直线形是由直线围成的图形，三条直线围成的直线形叫做三角形，四条直线围成的直线形叫做四边形，多边形是由四条以上直线围成的直线形
三角形中，三条边都相等的，叫做等边三角形，两条边相等的，叫做等腰三角形，各边不相等的，叫做不规则三角形
三角形中，有一个角是直角的，叫做直角三角形，有一个角是钝角的，叫做钝角三角形，三个角都是锐角的，叫做锐角三角形
四边形中，四个角都是直角的，叫做矩形，四条边都相等的矩形叫做正方形；四边相等的四边形，叫做菱形；对角相等且对边相等，但边不全都相等且角不是直角的，叫做斜方形；其余的四边形叫做不规则四边形
如果两条直线无限延长后永不相交，那么称两条直线平行

公设

由任意一点向另一点可做直线
一条直线可以被延长
以任意圆心和任意半径可做圆
直角皆相等
同一平面内一直线于另外两条直线相交，如果同一侧相交所成的两内角之和小于二直角，那么这两条直线于这一侧相交

公理

等于等量的量彼此也相等
等量加等量依然相等
等量减等量依然相等
能完全重合的物体是全等的
整体大于部分

命题

命题1.1：以给定线段为一边可作等边三角形
命题1.2：以给定点为端点可作线段等于已知线段
命题1.3：两条不相等的线段中，可在较大的线段上截取一段等于较小的线段
命题1.4：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
命题1.5：等腰三角形两底角相等，且如果向下延长两腰，其与底边相交的下侧两夹角也相等
命题1.6：若三角形中有两角相等，则两角所对的边也相等
命题1.7：在已知线段两个端点上作出相交于一点的两条线段，则不可能在同侧再作出两条线段分别等于前两条线段且交于一点
命题1.8：三边对应相等的两个三角形全等
命题1.9：可以二等分一个已知直线角
命题1.10：可以二等分一条线段
命题1.11：由已知直线上一点可作一直线和已知直线相交成直角
命题1.12：右已知直线外一点可作一直线与已知直线垂直
命题1.13：两条直线相交，邻角是两个直角或者相加等于180°
命题1.14：两条不再一边的射线过任意直线上的一点，所构成的邻角等于两个直角的和，那么这两条射线构成一条直线
命题1.15：两条直线相交，对顶角相等
命题1.16：任意三角形，其任意一边的延长线所形成的外角大于任意不相邻的内角
命题1.17：任意一个三角形，其两内角的和总小于两个直角
命题1.18：在任何三角形中，大边一定对大角
命题1.19：在任何三角形中，大角一定对大边
命题1.20：在任何三角形中，任意两边的和大于第三边
命题1.21：一三角形一端的两个端点向三角形内引两条相交线，那么交点到这两个端点的两条线段的和小于三角形余下的两条边的和，所形成的角大于三角形同侧的内角
命题1.22：用三条线段建立三角形，那么这三条线段必须满足于任意两条的和大于第三条的条件
命题1.23：给定一条直线和一个其上的点，可以做一个角等于已知角
命题1.24：两个三角形有两条对应边相等，其中一个三角形的对应夹角大于另一个三角形的夹角，那么，这一个三角形的第三边也大于另一个的第三边
命题1.25：三角形中如果有两条对应边相等，其中一个的第三边比另一个打，那么同时也有一个角比另一个大
命题1.26：两个三角形如果有两个角和一条边对应相等，那么其余的对应边和角都相等
命题1.27：如果一条直线和另两条直线相交，所形成的内错角相等，那么这两条直线平行
命题1.28：一条直线与两条直线相交，如果所形成的同位角相等，那么两条直线平行；若同旁内角互补，亦平行
命题1.29：一条直线与两条直线相交，所形成的内错角相等，同位角相等，同旁内角互补
命题1.30：平行于同一直线的两条直线互相平行
命题1.31：通过直线外一点可以做一条直线的平行线
命题1.32：延长三角形的任意一边所形成的外角，等于不相邻两个内角的和，三个内角的和等于180°
命题1.33：一组对边平行且相等的四边形的另一组对边也平行且相等
命题1.34：平行四边形中，对边相等，对角相等，对角线平分该四边形
命题1.35：在同底上且在相同的两平行线间的平行四边形面积相等
命题1.36：在等底上且在相同的两平行线间的平行四边形面积相等
命题1.37：同底等高的三角形面积相等
命题1.38：等底等高的三角形面积相等
命题1.39：有共同底边位于同侧面积相等的的三角形的另两点的连线平行于底边
命题1.40：等底并在同一边的面积相等的三角形，顶点的连线与底边平行
命题1.41：如果一个平行四边形与一个三角形同底边，并同一顶点连线平行于底边，那么，平行四边的面积是三角形的两倍
命题1.42：可以建一个平行四边形，使其面积等于一个给定角的给定三角形的面积
命题1.43：在任何平行四边形中，对角线上两边的平行四边形的补形的面积相等
命题1.44：给定一条线段，给定一个角，可以建一个平行四边形使其面积等于给定的三角形
命题1.45：建一平行四边形，使其内角等于给定角，面积等于给定多边形的面积
命题1.46：给出一条线段，可以做一个正方形
命题1.47：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
命题1.48：在一个三角形中，若两直角边的平方和等于斜边的平方，则其为直角三角形