歐基里德幾何/第一卷

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定義[編輯]

  1. 是沒有部分的
  2. 只有長度而沒有寬度
  3. 的兩端是點
  4. 直線是它上面的點平坦地放在上面
  5. 只有長度和寬度
  6. 的邊界是線
  7. 平面是它上面的線平坦地放在上面
  8. 平面角是在同一平面內不在一條直線上的兩條相交線相交的傾斜度
  9. 當相交成平面角的兩條線都是直線時,這個平面角也叫直線角
  10. 當兩條直線相交成的四個角都相等時,這四個角都是直角,而且成任一條直線垂直於另一條直線
  11. 大於直角的角叫做鈍角
  12. 小於直角的角叫做銳角
  13. 邊界是物體的邊緣
  14. 圖形是被一個或多個邊界圍成的
  15. 是由一條線圍成的平面圖形,圓中有一點到這條線上地任一點所連成的線段均相等
  16. 這一點叫做圓的圓心
  17. 直徑是圓中任意一條經過圓心的直線且在兩點處被圓所截得的線段,且它把圓二等分
  18. 半圓是直徑與它截圓截出的圓弧所圍成的圖形,半圓的圓心和圓的圓心相同
  19. 直線形是由直線圍成的圖形,三條直線圍成的直線形叫做三角形,四條直線圍成的直線形叫做四邊形多邊形是由四條以上直線圍成的直線形
  20. 三角形中,三條邊都相等的,叫做等邊三角形,兩條邊相等的,叫做等腰三角形,各邊不相等的,叫做不規則三角形
  21. 三角形中,有一個角是直角的,叫做直角三角形,有一個角是鈍角的,叫做鈍角三角形,三個角都是銳角的,叫做銳角三角形
  22. 四邊形中,四個角都是直角的,叫做矩形,四條邊都相等的矩形叫做正方形;四邊相等的四邊形,叫做菱形;對角相等且對邊相等,但邊不全都相等且角不是直角的,叫做斜方形;其餘的四邊形叫做不規則四邊形
  23. 如果兩條直線無限延長後永不相交,那麼稱兩條直線平行

公設[編輯]

  1. 由任意一點向另一點可做直線
  2. 一條直線可以被延長
  3. 以任意圓心和任意半徑可做圓
  4. 直角皆相等
  5. 同一平面內一直線於另外兩條直線相交,如果同一側相交所成的兩內角之和小於二直角,那麼這兩條直線於這一側相交

公理[編輯]

  1. 等於等量的量彼此也相等
  2. 等量加等量依然相等
  3. 等量減等量依然相等
  4. 能完全重合的物體是全等的
  5. 整體大於部分

命題[編輯]

  1. 命題1.1:以給定線段為一邊可作等邊三角形
  2. 命題1.2:以給定點為端點可作線段等於已知線段
  3. 命題1.3:兩條不相等的線段中,可在較大的線段上截取一段等於較小的線段
  4. 命題1.4:有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等
  5. 命題1.5:等腰三角形兩底角相等,且如果向下延長兩腰,其與底邊相交的下側兩夾角也相等
  6. 命題1.6:若三角形中有兩角相等,則兩角所對的邊也相等
  7. 命題1.7:在已知線段兩個端點上作出相交於一點的兩條線段,則不可能在同側再作出兩條線段分別等於前兩條線段且交於一點
  8. 命題1.8:三邊對應相等的兩個三角形全等
  9. 命題1.9:可以二等分一個已知直線角
  10. 命題1.10:可以二等分一條線段
  11. 命題1.11:由已知直線上一點可作一直線和已知直線相交成直角
  12. 命題1.12:右已知直線外一點可作一直線與已知直線垂直
  13. 命題1.13:兩條直線相交,鄰角是兩個直角或者相加等於180°
  14. 命題1.14:兩條不再一邊的射線過任意直線上的一點,所構成的鄰角等於兩個直角的和,那麼這兩條射線構成一條直線
  15. 命題1.15:兩條直線相交,對頂角相等
  16. 命題1.16:任意三角形,其任意一邊的延長線所形成的外角大於任意不相鄰的內角
  17. 命題1.17:任意一個三角形,其兩內角的和總小於兩個直角
  18. 命題1.18:在任何三角形中,大邊一定對大角
  19. 命題1.19:在任何三角形中,大角一定對大邊
  20. 命題1.20:在任何三角形中,任意兩邊的和大於第三邊
  21. 命題1.21:一三角形一端的兩個端點向三角形內引兩條相交線,那麼交點到這兩個端點的兩條線段的和小於三角形餘下的兩條邊的和,所形成的角大於三角形同側的內角
  22. 命題1.22:用三條線段建立三角形,那麼這三條線段必須滿足於任意兩條的和大於第三條的條件
  23. 命題1.23:給定一條直線和一個其上的點,可以做一個角等於已知角
  24. 命題1.24:兩個三角形有兩條對應邊相等,其中一個三角形的對應夾角大於另一個三角形的夾角,那麼,這一個三角形的第三邊也大於另一個的第三邊
  25. 命題1.25:三角形中如果有兩條對應邊相等,其中一個的第三邊比另一個打,那麼同時也有一個角比另一個大
  26. 命題1.26:兩個三角形如果有兩個角和一條邊對應相等,那麼其餘的對應邊和角都相等
  27. 命題1.27:如果一條直線和另兩條直線相交,所形成的內錯角相等,那麼這兩條直線平行
  28. 命題1.28:一條直線與兩條直線相交,如果所形成的同位角相等,那麼兩條直線平行;若同旁內角互補,亦平行
  29. 命題1.29:一條直線與兩條直線相交,所形成的內錯角相等,同位角相等,同旁內角互補
  30. 命題1.30:平行於同一直線的兩條直線互相平行
  31. 命題1.31:通過直線外一點可以做一條直線的平行線
  32. 命題1.32:延長三角形的任意一邊所形成的外角,等於不相鄰兩個內角的和,三個內角的和等於180°
  33. 命題1.33:一組對邊平行且相等的四邊形的另一組對邊也平行且相等
  34. 命題1.34:平行四邊形中,對邊相等,對角相等,對角線平分該四邊形
  35. 命題1.35:在同底上且在相同的兩平行線間的平行四邊形面積相等
  36. 命題1.36:在等底上且在相同的兩平行線間的平行四邊形面積相等
  37. 命題1.37:同底等高的三角形面積相等
  38. 命題1.38:等底等高的三角形面積相等
  39. 命題1.39:有共同底邊位於同側面積相等的的三角形的另兩點的連線平行於底邊
  40. 命題1.40:等底並在同一邊的面積相等的三角形,頂點的連線與底邊平行
  41. 命題1.41:如果一個平行四邊形與一個三角形同底邊,並同一頂點連線平行於底邊,那麼,平行四邊的面積是三角形的兩倍
  42. 命題1.42:可以建一個平行四邊形,使其面積等於一個給定角的給定三角形的面積
  43. 命題1.43:在任何平行四邊形中,對角線上兩邊的平行四邊形的補形的面積相等
  44. 命題1.44:給定一條線段,給定一個角,可以建一個平行四邊形使其面積等於給定的三角形
  45. 命題1.45:建一平行四邊形,使其內角等於給定角,面積等於給定多邊形的面積
  46. 命題1.46:給出一條線段,可以做一個正方形
  47. 命題1.47:直角三角形中,兩直角邊的平方和等於斜邊的平方
  48. 命題1.48:在一個三角形中,若兩直角邊的平方和等於斜邊的平方,則其為直角三角形