線性代數/平面座標/線性變換

维基教科书,自由的教学读本
跳到导航 跳到搜索

點座標的重新排列[编辑]

(4,3)在座標平面上的位置

如果你學過平面座標系,那麼你會知道平面座標的每個點座標(x,y)實際上是循著(1,0)的方向走 x 單位,沿著(0,1)的方向走 y 單位所到達的點,就像左圖所展示的方式一樣。圖中一個小小的紅色箭頭就是(1,0)方向,我們稱為(1,0)向量;一個小小的綠色箭頭就是(0,1)方向,我們稱為(0,1)向量

利用這樣的方式,我們就可以將平面上的每一個點,都安排一個獨一無二的座標。因此,我們都知道(x,y)座標就是循著(1,0)方向與(0,1)方向各走 x 單位與 y 單位的所到達的點。

指定新的方向[编辑]

Circle-question.svg 但假設我們將每一個點座標(x,y)都重新安排到一個新的位置,而且這次是沿著兩個「新的方向」各走 x 單位與 y 單位,那麼「新的點座標」將會在哪裡呢?

例如:如果我們將兩個「新的方向」指定為(2,1)(-1,1),那麼本來在(2,3)的點座標會跑到哪裡呢?


計算新的點座標[编辑]

我們利用底下的圖來說明這個問題:

將兩個「新方向」指定為(2,1)與(-1,1)

這個新的點,如果你懂一點向量加法的話,利用下方的算式,應該不難算出來:

(2,1)+(2,1)+(-1,1)+(-1,1)+(-1,1) = 2(2,1) + 3(-1,1) = (4,2)+(-3,3) = (1,5)


最後,新的點座標落在(1,5)上,正如你在上圖(右)中可以看到的一樣。

直式座標[编辑]

不過,為了配合線性代數這門學科所使用的符號起見,因為其他的人也是這樣表示的(畢竟數學是一種共通的語言),因此以後我們的點座標幾乎都會用「直式」的方式來表示,像下面所展示的的計算一樣。


Nuvola apps edu mathematics-p.svg 「直式」的座標

當一點的座標為 (x,y) 時,我們往後會將它寫成,


以符合目前線性代數符號的用法。