线性代数/平面座标/线性变换

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点座标的重新排列[编辑]

(4,3)在座标平面上的位置

如果你学过平面座标系,那么你会知道平面座标的每个点座标(x,y)实际上是循着(1,0)的方向走 x 单位,沿着(0,1)的方向走 y 单位所到达的点,就像左图所展示的方式一样。图中一个小小的红色箭头就是(1,0)方向,我们称为(1,0)向量;一个小小的绿色箭头就是(0,1)方向,我们称为(0,1)向量

利用这样的方式,我们就可以将平面上的每一个点,都安排一个独一无二的座标。因此,我们都知道(x,y)座标就是循着(1,0)方向与(0,1)方向各走 x 单位与 y 单位的所到达的点。

指定新的方向[编辑]

Circle-question.svg 但假设我们将每一个点座标(x,y)都重新安排到一个新的位置,而且这次是沿着两个“新的方向”各走 x 单位与 y 单位,那么“新的点座标”将会在哪里呢?

例如:如果我们将两个“新的方向”指定为(2,1)(-1,1),那么本来在(2,3)的点座标会跑到哪里呢?


计算新的点座标[编辑]

我们利用底下的图来说明这个问题:

将两个“新方向”指定为(2,1)与(-1,1)

这个新的点,如果你懂一点向量加法的话,利用下方的算式,应该不难算出来:

(2,1)+(2,1)+(-1,1)+(-1,1)+(-1,1) = 2(2,1) + 3(-1,1) = (4,2)+(-3,3) = (1,5)


最后,新的点座标落在(1,5)上,正如你在上图(右)中可以看到的一样。

直式座标[编辑]

不过,为了配合线性代数这门学科所使用的符号起见,因为其他的人也是这样表示的(毕竟数学是一种共通的语言),因此以后我们的点座标几乎都会用“直式”的方式来表示,像下面所展示的的计算一样。


Nuvola apps edu mathematics-p.svg “直式”的座标

当一点的座标为 (x,y) 时,我们往后会将它写成,


以符合目前线性代数符号的用法。