訊號與系統/訊號的特性

訊號的特性

$\bullet$ 連續時間(continuous-time)訊號 V.S 離散時間(discrete-time)訊號

$\bullet$ 類比(analog)訊號 V.S 數位(digital)訊號

$\bullet$ 週期(periodic)訊號 V.S 非週期(aperiodic)訊號

$\bullet$ 因果(causal)訊號 V.S 非因果(non causal)訊號

$\bullet$ 能量(energy)訊號 V.S 功率(power)訊號

$\bullet$ 定型(deterministic)訊號 V.S 隨機(random)訊號

$\bullet$ 奇(odd)訊號 V.S 偶(even)訊號

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連續時間(continuous-time)訊號 V.S 離散時間(discrete-time)訊號

$\bullet$ 連續時間訊號 ：所有時間均有指定訊號的大小 。

                   (a) 0.05秒的聲音信號             

$\bullet$ 離散時間訊號 ：只在特定的離散時間點有定義訊號的大小 。

                   (b) 2002年台年的每月平均溫度

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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類比(analog)訊號 V.S 數位(digital)訊號

$\bullet$ 類比訊號 ：訊號的大小落在一個或幾個連續的範圍內 。

$\bullet$ 數位訊號 ：訊號的大小只有特定的 ${\boldsymbol {m}}$ 個可能值 。

       $\Rightarrow$ ${\boldsymbol {m}}$ 元( m-ary )訊號
             
          (右圖為三元 binary 訊號)

                              圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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範例1.3

$\bullet$ 連續時間(continuous-time)訊號 vs 離散時間(discrete-time)訊號是依據訊號的時間軸特性來作分類 ；

   類比(analog)訊號 vs 數位(digital)訊號則由訊號大小的可能值作區別 。

                                (a) 連續時間類比訊號      (b) 連續時間數位訊號
                                (c) 離散時間類比訊號      (d) 離散時間數位訊號

                                   圖出處 © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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週期(periodic)訊號 V.S 非週期(aperiodic)訊號

$\bullet$ 週期訊號 : 存在常數 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ ，使得所有時間 ${\boldsymbol {t}}$ 均滿足 :

            ${\boldsymbol {x(t+T_{0})=x(t)}}$

$\bullet$ 所有可能的 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 值中最小且大於零者，稱為 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的基本週期(period) 。

$\bullet$ 週期訊號由 ${\boldsymbol {t}}$ = ${-\infty }$ 開始並持續至永久( ${\boldsymbol {t}}$ = ${+\infty }$ ) 。

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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範例1.4

說明訊號 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${e^{j2\pi f_{0}t}}$ 為週期訊號，並求其週期 。

【解】 若 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 是週期訊號，${\boldsymbol {x(t)}}$ 須滿足

         ${\boldsymbol {x(t+T_{0})}}$ = $e^{j2\pi f_{0}(t+T_{0})}$ = $e^{j2\pi f_{0}t}$$e^{j2\pi f_{0}T_{0}}$ = $e^{j2\pi f_{0}t}$ = ${\boldsymbol {x(t)}}$    
   
    
    上式要成立，必須 ${e^{j2\pi f_{0}T_{0}}}$ = ${\boldsymbol {1}}$ 。

特例 :

    (i)  ${\boldsymbol {f_{0}=0}}$ 時，任意 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 值皆符合，但此情況無法定義最小正 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 值，即無法找到週期或週期為 ${\infty }\Rightarrow$ 直流訊號 。
     
    (ii) 若 ${\boldsymbol {f_{0}\neq 0}}$ ，當 ${\boldsymbol {2\pi f_{0}T_{0}=2m\pi }}$ 時( ${\boldsymbol {m}}$ 為任意整數) $e^{j2\pi f_{0}T_{0}}$ = ${\boldsymbol {1}}$ ，故 $T_{0}={\frac {m}{f_{0}}}$ 。
          當${\boldsymbol {m=1}}$ 時，有最小正 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 值，故週期為 ${\boldsymbol {\frac {1}{f_{0}}}}$ 。  
          ${\boldsymbol {T_{0}={\frac {1}{f_{0}}}}}$ ，滿足週期訊號的條件，週期為 ${\boldsymbol {e^{j2m\pi }}}$ = ${\boldsymbol {1}}$  。　
                       

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因果(causal)訊號 V.S 非因果(non causal)訊號

$\bullet$ 因果訊號 :

             ${\boldsymbol {x(t)=0}}$                 ,     ${\boldsymbol {t<0}}$

$\bullet$ 非因果訊號 :

             ${\boldsymbol {x(t)\neq 0}}$                ,      ${\boldsymbol {t<0}}$

$\bullet$ 反因果(anticausal)訊號 :

             ${\boldsymbol {x(t)=0}}$                 ,     ${\boldsymbol {t\geq 0}}$

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能量(energy)訊號 V.S 功率(power)訊號

$\bullet$ 訊號 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的總能量 ${\boldsymbol {E_{x}}}$ 有定義而且為有限值，亦即 ${\boldsymbol {0<E_{x}<\infty }}$ ，此訊號稱為能量訊號 。

$\bullet$ 如果訊號 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率 ${\boldsymbol {P_{x}}}$ 有定義而且為有限值，亦即 ${\boldsymbol {0<P_{x}<\infty }}$ ，此訊號則稱為功率訊號 。

$\bullet$ 一般而言，週期訊號為功率訊號 。

$\bullet$ 假如一訊號不符合上述能量及功率特性，則此訊號既非能量訊號也非功率訊號 。

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範例1.5

考慮週期為 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 的週期訊號 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${\boldsymbol {Acos(\omega _{0}t+\theta )}}$ ，其中角頻率 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ = ${\frac {2\pi }{T_{0}}}$ ; ${\boldsymbol {\theta }}$ 是一常數，分析此訊號為能量或功率訊號 ？

【解】 因為是週期訊號，${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率

    $P_{x}={\frac {1}{T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}\left|{x(t)}\right|^{2}dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}{A^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\theta )}dt$
         
       = ${\frac {1}{T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}{A^{2}{\frac {1+cos(2\omega _{0}t+2\theta )}{2}}}dt$
       
       = ${\frac {1}{2T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}{A^{2}}dt$ + ${\frac {A^{2}}{2T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}{cos(2\omega _{0}t+2\theta )}dt$ = ${\frac {A^{2}}{2}}$ $<\infty$
    
    
    
    
    上式第二項之弦波訊號積分整數個週期結果為 ${\boldsymbol {0}}$ 。
     
     因為 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率值有限，此訊號為功率訊號  。

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範例1.6

訊號 $x(t)={\begin{cases}e^{-at},&{\mbox{t}}\geq {\mbox{0 }}\\{0},&{\mbox{else}}\end{cases}}$ ， 其中 ${\boldsymbol {a>0}}$  ; 說明此訊號為能量訊號 。

【解】 計算 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的總能量

     $E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}(t)\,dt$ = $\int _{0}^{\infty }e^{-2at}\,dt$ = ${\frac {-1}{2a}}e^{-2at}$ $|_{0}^{\infty }$ = ${\frac {1}{2a}}<{\infty }$
    
    因為 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的總能量有限，此訊號為能量訊號  。

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範例1.7

訊號 $x(t)={\begin{cases}{t},&{\mbox{t}}\geq {\mbox{0 }}\\{0},&{\mbox{else}}\end{cases}}$  ; 說明此訊號既非能量訊號也非功率訊號 。

【解】 計算 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的總能量

       $E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{x}^{2}(t)\,dt$ = $\int _{0}^{\infty }{t}^{2}\,dt$ = ${\frac {t^{3}}{3}}$ $|_{0}^{\infty }$ $\rightarrow$ ${\infty }$
            

    計算 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率
       
      
       $P_{x}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}$$\int _{0}^{\frac {T}{2}}{t}^{2}\,dt$ = $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}$${\frac {({\frac {T}{2}})^{3}}{3}}$ = $\lim _{T\to \infty }$${\frac {T^{2}}{24}}$ $\rightarrow$ ${\infty }$
 
 

由以上計算得知：${\boldsymbol {x(t)}}$ 的總能量與平均功率皆為 $\infty$ ，因此這個訊號既非能量訊號也非功率訊號 。

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定型(deterministic)訊號 V.S 隨機(random)訊號

$\bullet$ 定型訊號(deterministic signal) : 在任何給定時間 ${\boldsymbol {t}}$ 其訊號大小皆為固定可知的，也就是說定型訊號可用已知的函數或圖形加以描述或表示。

$\bullet$ 隨機訊號(random signal) : 有些訊號在任何時間的訊號大小是隨機而不可預知，此類訊號僅能用機率及統計特性描述。

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範例1.8

訊號 ${\boldsymbol {x(t)}}$= ${\boldsymbol {\cos }}$ ${\boldsymbol {(\omega _{0}t+\theta )}}$ ，舉例說明 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ 與 ${\boldsymbol {\theta }}$ 之特性以分析此訊號為定型訊號或隨機訊號 。

【解】

     若 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ 與 ${\boldsymbol {\theta }}$ 是常數，則 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 是定型訊號(任意時間 ${\boldsymbol {t}}$ 其函數值 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 均已是固定的值)。
     反之，若 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ 是常數，而${\boldsymbol {\theta }}$ = ${\frac {\pi }{3}}$ 或 $-{\frac {\pi }{3}}$ 的機率各半，此情況下的${\boldsymbol {x(t)}}$則為隨機訊號
    (任意時間 ${\boldsymbol {t}}$ 的函數值 ${\boldsymbol {x(t)}}$無法預知，因為 ${\boldsymbol {\theta }}$ 可能是 ${\frac {\pi }{3}}$ 或 $-{\frac {\pi }{3}}$) 。

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奇(odd)訊號 V.S 偶(even)訊號

$\bullet$ 偶訊號(even signal) :

 ${\boldsymbol {x(-t)}}$ = ${\boldsymbol {x(t)}}$

$\bullet$ 奇訊號(odd signal) :

 ${\boldsymbol {x(-t)}}$ = ${\boldsymbol {-x(t)}}$

                              圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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奇偶訊號的特性

$\bullet$ 偶訊號 $\times$ 奇訊號 = 奇訊號

$\bullet$ 奇訊號 $\times$ 奇訊號 = 偶訊號

$\bullet$ 偶訊號 $\times$ 偶訊號 = 偶訊號

$\bullet$ $\int _{-a}^{a}x_{e}(t)\,dt$ = $2\int _{0}^{a}x_{e}(t)\,dt$ , ( ${\boldsymbol {x_{e}(t)}}$ 是偶訊號)

$\bullet$ $\int _{-a}^{a}x_{0}(t)\,dt$ = $\mathbf {0}$ , ( ${\boldsymbol {x_{0}(t)}}$ 是奇訊號)

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訊號表示成奇訊號與偶訊號之和

$\bullet$ 任意訊號可以表示成一個奇訊號與偶訊號之和 。

       ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${\boldsymbol {x_{e}(t)}}$ + ${\boldsymbol {x_{0}(t)}}$

  其中                                                                                                                            
       
       $x_{e}(t)={\frac {1}{2}}$ $\left[x(t)+x(-t)\right]$
      
       $x_{0}(t)={\frac {1}{2}}$ $\left[x(t)-x(-t)\right]$

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範例1.9

將訊號 ${\boldsymbol {x(t)}}$= $e^{-at}u(t)$ ，表示成奇訊號與偶訊號之和 ${\boldsymbol {x(t)}}$= ${\boldsymbol {x_{e}(t)}}$ + ${\boldsymbol {x_{0}(t)}}$

      其中  $x_{e}(t)={\frac {1}{2}}$ $\left[e^{-at}u(t)+e^{-at}u(-t)\right]$     ,   $a>0$                                   $(even)$
           
           $x_{0}(t)={\frac {1}{2}}$ $\left[e^{-at}u(t)-e^{-at}u(-t)\right]$                                                $(odd)$
   

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範例1.10

訊號 ${\boldsymbol {x(t)}}$= ${\boldsymbol {\cos }}$ ${\boldsymbol {(\omega _{0}t+{\frac {\pi }{6}})}}$ ，求其偶訊號部分與奇訊號部份 。

【解】 利用三角函數公式直接改寫原信號  :

     ${\boldsymbol {x(t)}}$= ${\boldsymbol {\cos }}$ ${\boldsymbol {(\omega _{0}t+{\frac {\pi }{6}})}}$ = ${\boldsymbol {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\boldsymbol {\cos(\omega _{0}t)}}$ - ${\boldsymbol {\frac {1}{2}}}$ ${\boldsymbol {\sin(\omega _{0}t)}}$
     
    
     
     其中弦波訊號 ${\boldsymbol {\cos(\omega _{0}t)}}$ 與 ${\boldsymbol {\sin(\omega _{0}t)}}$ 分別是偶訊號和奇訊號 。

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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